Notion de fonction contractante - dépendance vis-à-vis de la norme

[inviteed436f76]

Bonjour

J'ai une question concernant les fonctions contractantes : puisque pour une fonction k-Lipschitzienne, l'indice k dépend de la norme utilisée, êtes-vous bien d'accord que la notion de fonction contractante dépend également de la norme que l'on considère ?
Parce qu'alors je suis étonné de ne jamais voir cette norme mentionnée, on devrait dire par exemple "f est contractante pour telle norme"...

Ou bien peut-être qu'on dit qu'une fonction est contractante à partir du moment qu'elle l'est pour AU MOINS une norme donnée ?

Cette question me paraît assez importante puisque des résultats importants comme l'existence d'un unique point fixe peuvent en découler (notion qui, elle, ne dépend pas de la norme considérée).

Merci d'avance pour votre aide,
Bien cordialement
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[invite23cdddab]

Oui, effectivement, la notion de fonction contractante dépend de la norme.

Cette question me paraît assez importante puisque des résultats importants comme l'existence d'un unique point fixe peuvent en découler (notion qui, elle, ne dépend pas de la norme considérée).

Oui, et dans ce cas, il suffit que la fonction soit contractante pour une certaine norme pour avoir le résultat.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Sur le corps des réels, les normes usuelles (infinie, absolue et euclidienne) sont équivalentes. Si une fonction est contractante pour une de ces normes, elle l'est pour les autres.

[invite23cdddab]

Bonjour,

Sur le corps des réels, les normes usuelles (infinie, absolue et euclidienne) sont équivalentes. Si une fonction est contractante pour une de ces normes, elle l'est pour les autres.

Non, c'est faux (que des normes équivalentes ont les mêmes fonctions contractantes). Contre exemple :

Prend

Et la fonction f(X) = MX



Pour la norme 1 (sur R²)



Donc pas contractante


Pour la norme



Donc contractante

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteed436f76]

Ok ok, merci beaucoup pour vos réponses, c'est clair maintenant