espace métrique, distance, orthogonalité

[invite7577911a]

Salut, j'essaie de résoudre un problème mais il y à quelque chose que je ne comprend pas... énoncé: Soit V un espace vectoriel sur R muni d'un produit scalaire et d la métrique correspondante. Soit v appartenant à V un vecteur non-nul. Soit x appartenant à V. Montrer que pour tout y appartenant à R, d(yv, w) = |y|*||v|| où w est l'orthogonal du vecteur v. Pour résoudre ce problème, je me suis mis sur un plan x, y, j'ai tracé un vecteur v =(R+,0) et son orthogonal w = (0,R+). J'ai pris un point sur v tq ce point est égal à yv et j'ai posé:
(d(w,0))^2 + (d(0,v))^2 = (d(v,w))^2 par Pythagor.. Mais je trouve ||w||^2 + ||v||^2 = ||w-yv||^2.. Quelqu'un pourrait-il m'aider? Merci.
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[invite6710ed20]

Enoncé pas clair!

[invite7577911a]

Voici, la question complète (point c). Merci

[invite6710ed20]

Bonjour
question c) par définition
Par Phytagore on a pour tout

Cela implique ,.....
Je te laisse terminer le raisonnement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Tu as simplement oublié que la distance à l'hyperplan, c'est l'inf sur les w appartenant à cet hyperplan.

Tu as montré que pour tout . Reste à "passer à l'inf" :

Que vaut ? Indice : cet inf est atteint pour un élément assez évident de

[invite7577911a]

C'est très clair. Merci! Juste pour le point (d), je ne comprend pas la première partie de l'énoncé, que signifie montrer que la distance de x à l'hyperplan orthogonal à v est réalisé pas un unique point?

[invite6710ed20]

Rebonjour
Cela veut dire qu'en fait " l'inf est attient et de façon unique" i.e
il existe unique dans v orthogonal tel que

[invite7577911a]

Bonjour,

Merci!