Orthogonalité de vecteurs dans l'espace.

[invited111f1a4]

Bonjour,

Je suis en train de lire un livre de synthèse d'image dans lequel l'auteur décrit une procédure pour déterminer un vecteur V2(x2,y2,z2) (quelconque) qui soit orthogonal à un vecteur orthonormé V1(x1,y1,z1) donné, il dit :

- Etape1 : on annule une des dimensions (disons y) :
ça donne V2(x2, 0, x2)

- Etape2 : on échange les autres dimensions : x2 = z1 et z2 = x1
ça donne V2(z1, 0, x1)

- Etape3 : on change le signe d'une des dimensions (disons z1)
ça donne V2(-z1, 0, x1)

- Etape4: on normalise V2 en divisant chaque dimension par la norme

Pourriez vous expliquer cette procédure et démontrer qu'elle est correcte?

Merci par avance.
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[invite51d17075]

- Etape3 : on change le signe d'une des dimensions (disons z1)
ça donne V2(-z1, 0, x1)

- Etape4: on normalise V2 en divisant chaque dimension par la norme

.

je ne sais pas ou tu as trouvé ça ?
ton V2 à la fin ne depend que de x1 et z1 donc je ne vois pas quelle propriété en tirer concernant V2.
à la fin on normalise, je ne vois pas en quoi on en tire une conclusion sur l'orthogonalité ????

la solution naturelle et rapide est le produit scalaire.

[invited111f1a4]

Bonjour,

sur le plan (en 2d) si on a un vecteur v(x, y), alors v'(y, -x) et v''(-y, x) sont tous deux perpendiculaire à v. On peut le constater en les dessinant sur un repère.

Par contre dans l'espace (en 3D), je n'arrive pas à visualiser la démarche réciproque pour déterminer un vecteur quelconque qui soit perpendiculaire à V1. Peut-être que l'étape 4 n'est pas nécessaire.

Concernant la source, il s'agit du livre http://pbrt.org/

Et voici le texte original qui décrit la procédure:

The implementation of this function assumes that the vector passed in, v1, has already
been normalized. It first constructs a perpendicular vector by zeroing one of the components
of the original vector, swapping the remaining two, and negating one of them.
Inspection of the two cases should make clear that v2 will be normalized and that the dot
product (v1 · v2) must be equal to zero.

[invite51d17075]

ce n'est pas clair.
de quelle fonction parle-t-on.
et relis bien la dernière phrase "the dot product must be equal to zero".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited111f1a4]

La fonction consiste à créer un système "local" de coordonnés à partir d'un seul vecteur connu v1. C'est à dire déterminer deux autres vecteurs v2 et v3 de sorte que les trois vecteurs soient perpendiculaire entre eux et forment un repère orthonormé.

La partie que je ne comprend pas est la procédure décrite dans le paragraphe (zeroing one component, swapping the remaining and negating one of them). Pourquoi cette procédure donne-t-elle un vecteur perpendiculaire à v1. Comment le prouver?

Concernant v1 . v2 = 0, je l'ai bien compris mais ça ne sert qu'a vérifier, une fois v2 déterminé, qu'ils sont bien perpendiculaires.

[invite51d17075]

donc, il ne s'agit pas de montrer qu'un vecteur V2 qcq est orthogonal, mais d'en trouver un simplement!!
enorme différence.
effectivement le vecteur ( -z1,0,x1) est orthogonal à V1 puisque
-z1*x1+0*y1+x1*z1=0
( produit scalaire nul )
ensuite, si tu veux creer un repère orthonormé il faut que tous les vecteurs soient normés, donc le V2 que tu viens de créer.

j'imagine qu'on te suggère de faire le produit vectoriel des 2 premiers pour le troisième.

[invite51d17075]

oublie ma dernière phrase .

[invited111f1a4]

Au fait le livre décrit le comment en trouver. Et explique aussi qu'on peut le vérifier par un produit scalaire.

Je cherchais plutôt une sorte de formalisme ou abstraction mathématique qui décrit cette "astuce" qui permet de générer un v2 perpendiculaire à v1.

Sinon, oui, pour le dernier vecteur, c'est un cross product qu'il faut.

Merci pour tes réponses ansset.

[invite51d17075]

pas compris la démarche.
l'astuce est évidente.

[invited111f1a4]

Je chipote peut être un peu; l'astuce est évidente tout autant que la somme 1+1=2 est évidente. Cette dernière fait l'objet de débats et tentatives de démonstration.

Merci pour ton aide.

[invite7c2548ec]

Salut vous voulez démontres que V1,V2,V3 forme un espace orthogonale à 3 dimension simple mais , faut que les 3 conditions soient vérifier _1) le produit scalaire V1*V2=0 ,_2) le produit scalaire V1*V3=0 ,_3) le produit scalaire V2*V3=0 .(pardonner mois si j'ai pas utiliser le Latex ).

[invited111f1a4]

Merci topmath pour ton intervention.
Ta réponse est bonne mais pas pour la question que j'ai posée.

[invite51d17075]

la solution (-z1,0,x1) une fois normée ensuite est un V2 très simple à trouver.
( la remarque sur la démonstration du 1+1=2 me semble hors de propos, à moins que ce soit ironique ) !?