orthogonalité de vecteurs et matrice diagonale

[invite40f82214]

bonjour,

j'ai un problème aux valeurs propres en physique et je ne comprends pas trop pourquoi on a une matrice diagonale en sortie, je vous montre la demonstration de mon cours:

Voici mon équation de départ:

([K]-w²[M]){u}=0

==>en resolvant le determinant de [K]-w²[M] (car det[M^-1] différent de 0) je trouve les valeurs propres du probleme. Ensuite je considere deux vecteurs propres que j'appelerai Yi et Yj qui sont de norme 1.

on peut ecrire:

(1)
[K]{Yi}=Wi²[M]{Yi}
<Yj>[K]{Yi}=Wi²<Yj>[M]{Yi}
==> [K] ET [M] etant symetrique on a:
<Yi>[K]{Yj}=Wi²<Yi>[M]{Yj}

==> DE MEME:

(2)
<Yi>[K]{Yj}=Wj²<Yi>[M]{Yj}

D'OU:

(3)
(Wj²-Wi²)<Yi>[M]{Yi}=0

SOIT ON OBTIENT:

(4)
<Yi>[M]{Yi}=<Yi>[K]{Yi}=0

les vecteurs sont donc orthogonaux et formes un base. on a:
Mi=<Yi>[M]{Yi}
Ki=<Yi>[K]{Yi}

Avec Mi et Ki sont des matrices diagonales.
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[invite40f82214]

si on aurait une matrice [P] qui serait orthogonale formé des vecteurs propres et qu'on aurait:

[Mi]=[P]^t.[M][P]

je comprendrai qu'on aurait Mi diagonale mais dans la démo du cours je vois pas trop puisque c'est que des vecteurs que l'on a.

[invite57a1e779]

(3)
(Wj²-Wi²)<Yi>[M]{Yi}=0

SOIT ON OBTIENT:

(4)
<Yi>[M]{Yi}=<Yi>[K]{Yi}=0

Ce doit être
(3) : (Wj²-Wi²)<Yi>[M]{Yj}=0
(4) : <Yi>[M]{Yj}=<Yi>[K]{Yj}=0

Je pense que l'on pose ensuite
Mij=<Yi>[M]{Yj} et Kij=<Yi>[K]{Yj}
et on remarque que l'on définit ainsi deux matrices diagonales.

[invite40f82214]

En effet c'est bien cela, desolé pour l'erreur,




Par contre à la fin on a bien:

Mi=<Yi>[M]{Yi} et Ki=<Yi>[K]{Yi}

avec Ki et Mi des matrices diagonales, mais je comprends pas pourquoi...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Si M et K sont des matrices, Yi et Yj des vecteurs, alors Mi=<Yi>[M]{Yi} et Ki=<Yi>[K]{Yi} sont des nombres, pas des matrices.
Comme on a vu que <Yi>[M]{Yj}=<Yi>[K]{Yj}=0, il me semble que Mi et Ki doivent être les éléments diagonaux non nuls des matrices diagonales, les éléments non diagonaux <Yi>[M]{Yj} et <Yi>[K]{Yj} étant nuls.

[invite40f82214]

à oui en effet, j'avais pas remarqué ca!!!

Merci bcp pour ton aide