La limite d'une fonction non nulle peut-elle être nulle en un réel ?

[KFSHU]

Bonjour, je cherche à calculer la limite suivante:



Sachant que est de limite nulle en x0 et que f ne s'annule pas.
Je dirais que la limite vaut 0 mais si f tend vers 0 en x0 la limite est indéterminée. D'où ma question, une fonction qui ne s'annule pas peut elle avoir une limite nulle en un réel fixé ? (je sais que de telles fonctions peuvent tendre vers 0 en l'infini ou -infini comme l'exponentielle mais en un réel je ne sais pas trop)

[gg0]

Bonjour.
Sans condition sur f, difficile de conclure. Par exemple si, pour x différent de x0, f(x)=x-x0, et f(x0)=1, tout peut arriver; il est même possible qu'il n'y ait pas de limite !

Cordialement

[KFSHU]

Merci de m’avoir répondu. Mon but était de déterminer la dérivée de l’inverse de f en x0, en utilisant le fait que f admet un développement limité d’ordre 1. J’ai obtenu un développement limité d’ordre 1 de 1/f qui me permet de trouver la réponse attendu (1/f)’(x0) = -f’(x0)/f(x0)^2 sauf que pour affirmer avec rigueur que c’est bien DL1 il faut que je montre que -epsilon(x)/(f(x)*f(x0)) soit de limite nulle en x0.

[gg0]

ta fonction f étant dérivable en x0, si elle ne s'annule pas en x0 est comprise entre f(x0)/2 et 3f(x0)/2 pour x suffisamment proche de x0 (je te laisse faire la preuve avec la définition de la continuité) ce qui permet de montrer que la limite est nulle.

Bon travail personnel !

[A voir en vidéo sur Futura]

[KFSHU]

Merci mais je ne vois pas trop comment le fait que f soit comprise entre f(x0)/2 et 3f(x0)/2 pour x assez voisin de x0 permet de montrer que la limite est nulle, pouvez-vous me donner plus de détailles

[gg0]

Disons que ça empêche f(x) de s'approcher de 0. et ça permet d'utiliser des théorèmes classiques sur les limites.

Mais soit tu veux faire des maths, et c'est à toi de chercher. Soit tu veux que je les fasses, mais alors vois un bouquin sur le sujet (dérivée de la réciproque).

Cordialement.