les parties fermées

[invitecbe90af7]

salut a tous

on a comme prop des EVN
si E est un evn et F est un sev de dim finis de E
alors F est fermé
mais si on applique ceci sur R etant un Q ev
on a Q est un Q ev de dim = 1 (fini)
donc Q est une partie fermé de R qui n est pas le cas ??
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[invited1ed38da]

Salut,

Quelqu'un de plus fortiche que moi va sûrement te répondre, mais il me semble que la subtilité réside dans le fait de parler de comme un -espace vectoriel ou bien comme un espace vectoriel.
En tant que -espace vectoriel, est de dimension 1, donc évidement n'est pas un sous espace vectoriel de et donc le théorème ne s'applique pas.
En tant que -espace vectoriel, est de dimension 2 (tu prends comme base 1 et n'importe quel irrationnel, par exemple racine de 2).
est donc égal à Vect(1). Et tu peux vérifier ici que Vect(1) est bien fermé (Soit une suite d'éléments de Vect(1) qui converge vers un vecteur u, alors pour totu élément de cette suite la coordonnée en racine de 2 est nulle, et tu peux montrer par l'absurde que la coordonnée en racine de 2 de la limite u est aussi nulle, et donc que ce vecteur u est forcément un élément de Vect(1))

[Médiat]

Bonsoir,

En tant que Q-ev, IR est de dimension infinie.

Et Q est bien un fermé de Q

[gg0]

Bonsoir.

Quelques remarques :
* Tu as parlé au début de "E est un evn ". R est-il un evn sur Q ?
* Quand tu dis "Q est une partie fermé de R qui n est pas le cas" quelle topologie considères-tu ? La topologie habituelle de R est celle qui en fait un evn de dimension 1 sur R, qui n'a pas Q comme sev (les seules sev sont {0} et R).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1ed38da]

@Mediat : Désolé pour l'erreur, j'étais vraiment sûr de moi et je me suis donc permis de poster. Je vais faire plus attention

[AncMath]

La théorie usuelle des espaces vectoriels normés, celle que l'on voit dans les petites classes, se placent sur un corps valué complet.
Une valuation sur un corps , c'est une application telle que , et . L'exemple typique est bien sur muni de la valeur absolue, mais les rationnels munis de la valeur absolue ou les complexes munis du module sont d'autres exemples.

Cette valuation définie une distance , qui peut rendre le corps complet ou pas.

Si elle rend le corps complet alors la théorie des espaces normés dessus est très analogue à celle de . En particulier le résultat que tu evoques : un espace normée de dimension finie est complet est vrai. C'est parce que toutes les normes dessus sont équivalentes et que la norme infinie rend clairement un espace de dimension n complet.
Du reste la projection sur la première coordonnée de étant clairement uniformément continue, car linéaire et continue, doit être complet si l'est. Donc il n'y a aucun espoir qu'un espace de dimension finie sur (muni de la valeur absolue) soit complet !

Petit exercice supplémentaire, le résultat mentionné reste vrai même pour muni d'une valuation quelconque.