series

[invitedb565d4b]

Bonjour,
pouvez vous m'aider pour un exercice ? j'ai du mal a comprendre

Exercice 3
On considere la suite (Un) definie e par u0 = 1 et Un+1 = Un + Un²

a) Prouver que lim Un existe et vaut +inf
b) Vérifier que la série de terme général Vn = 1 / (1+Un) est bien définie et converge. A l'aide de la décomposition en éléments simples de 1/X(X+1) , calculer
la série de terme général Vn.

pour le a) j'ai fais Un+1=f(Un) avec f définie par f(X)=X+X² et d'apres le tableau de variation de f, lim f(X) qd x tend vers +inf = +inf est ce que cela suffit pour affirmer que lim Un exister et vaut +inf ?

pour le b) j'ai du mal avec les series definie par recurence comme ca, je ne voit pas trop ce qu'est Vn ? est ce la meme chose que la serie de terme général 1/(1+n+n²) ?


merci d'avance
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[jacknicklaus]

pour le a) j'ai fais Un+1=f(Un) avec f définie par f(X)=X+X² et d'apres le tableau de variation de f, lim f(X) qd x tend vers +inf = +inf est ce que cela suffit pour affirmer que lim Un exister et vaut +inf ?

prends U0 = 1; f(x) = x et Un+1 = f(Un)
lim f(x) = +infini quand x -> +infini.
Et pourtant Un = 1, et a donc une limite.

pour le b) j'ai du mal avec les series definie par recurence comme ca, je ne voit pas trop ce qu'est Vn ? est ce la meme chose que la serie de terme général 1/(1+n+n²) ?

Vn = 1 / (1+Un), c'est tout.

ca n'a rien à voir avec Vn = 1/(1+n+n²) car le terme général Un n'a rien à voir avec Un = n + n².
en effet :

U0 = 1 et n+n² = 0
U1 = 2 et n+n² = 2
U2 = 6 et n+n² = 6
U3 = 42 et n+n² = 12

[invitedb565d4b]

ok je n'ai pas du comprendre ce qu'etait une suite récurrentes du type un+1 = f(un) ...
ducoup je fais comment je peu montrer que la suite est croissante ca cest facile on a Un+1-Un=Un² >0 mais apres ?

[invitedb565d4b]

par recurence on peu montrer que Un>n pour tout n:
c'est vrai au rang n, pour n = 0 U(n)= 1
au rang n+1 on a
pour n > 0
Un>n
Un+Un²>n+n²
Un+1>n(n+1)>n+1
donc Un>n pour tout n
est ce correct ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb565d4b]

Pour le b)
la decomposition en elements simple de 1/X(X+1) est egale à 1/X - 1/(X+1)
J'imagine que c'est une serie téléscopique mais je n'arrive pas a faire le lien entre Vn et Un

[JB2017]

Voir le lien où tu a posé la question
https://www.maths-forum.com/superieu...s-t189725.html

[jacknicklaus]

dans ces conditions, on peut clôturer ce fil.