Odre de deux element d'un groupe

[invitefa649b4a]

Bonjour ,

J'ai une petite question , soit (G,.) abelien a , b deux elements de G d'ordres respectifs |a|=n et |b|=m
1) Montrer que ab est d'ordre fini et que |ab| divise ppcm(n,m)

D'abord je sais que (ab)^mn=e donc ab est d'ordre fini qui divise mn ,
donc |ab| divise mn=pgcd(n,m)*ppcm(n,m) mais je ne sais comment montrer que l'ordre de ab divise le ppcm ?
s'agit t-il de gauss ? , je n'ai pas le fait que n et m sont premiers
Donc comment je fais ici?
Merci d'avance .
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[invite9dc7b526]

tu te compliques la vie. Si je note x le ppcm de m et n, x=kn=lm k,l entiers et ab^x=(a^x)(b^x)=(a^kn)(b^lm)=1

(tu remarqueras que le fait que G est abélien intervient pour passer de (ab)^x à (a^x)(b^x) mais plus ensuite)

[invitefa649b4a]

ah d'accord merci beaucoup , tellement simple