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probleme dans une intégrale




  1. #1
    Lucieeeee

    probleme dans une intégrale

    Bonjour ! j’aurais besoin d’une précision sur cette intégrale. Merci à ceux qui répondront !



    Je fais le changement de variable : x=sin(t).
    Donc mon intégrale va de ; 0 à sin(1) c’est bien ça ?

    J’obtiens à la fin :


    Je ne vois pas comment finir du fait que sin(1) ne soit pas une valeur qui tombe juste.. ça ferait du sin(sin(1)) ?

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : probleme dans une intégrale

    Bonjour.

    Si x= sin(t) varie de 0 à 1, il n'y a pas de raison que t varie de 0 à sin(1) puisque ça donnerait sin(t) varie de 0 à sin(sin(1)) qui n'est pas 1.
    Il y a une infinité d'intervalles de variation possibles pour t, le plus simple est de 0 à la première valeur de t qui donnera x=1.

    Cordialement.

  4. #3
    Lucieeeee

    Re : probleme dans une intégrale

    Merci pour cette réponse ! donc c'est sin(t) qui varie de 0 à 1. Donc t varie de 0 à pi/2 est une possibilité, 2pi à 5pi/2en est une autre.
    Donc cette infinité de possibilités donnera toujours le même résultat, et il me suffit d'en choisir un pour avoir la valeur de l'intégrale que je cherche, c'est bien cela ?


  5. #4
    gg0

    Re : probleme dans une intégrale

    C'est bien cela. Bon travail !

  6. #5
    Lucieeeee

    Re : probleme dans une intégrale

    Merci beaucoup pour toutes vos réponses pertinentes à chaque question !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    fartassette

    Re : probleme dans une intégrale

    Bonjour,

    Cette fonction est particulièrement intéressante déjà d'un point de vue géométrique.

    la fonction définie sur est une équation de cercle centré en est de rayon , en effet .Intuitivement,l'aire sous cette courbe prise sur ce segment correspond à comme le résultat est immédiat.C'est juste une approche différentes pour pouvoir éventuellement comparer le résultat du calcul d'intégral.En tous cas la substitution trigonométrique proposée est excellente et confirme bien le résultat géométrique!

  9. #7
    gg0

    Re : probleme dans une intégrale

    Attention, Fartassette,

    à la précision de tes propos. la fonction n'est pas une équation (*). Par contre, ce qui est vrai est que la courbe de la fonction est portée par un cercle; mais ce n'est pas un cercle, seulement un quart de cercle, d'où le 1/4 dans le résultat.

    Cordialement.

    (*) égalité comportant une ou plusieurs inconnues.

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  11. #8
    gg0

    Re : probleme dans une intégrale

    Fartassette,

    j'ai oublié de te dire que ton implication

    est fausse ! en effet, 0,6²+(-0,8)²=1, mais -0,8 n'est pas la racine carrée de 1-0,6², ni de quoi que soit d'autre d'ailleurs.

    Cordialement.

  12. #9
    fartassette

    Re : probleme dans une intégrale

    Bonjour, ggo


    je n'ai pas été suffisamment précise en effet, l'idée est de partir de l'équation de cercle alors bien sur en isolant on obtient naturellement d'ailleurs pour être très précises les x appartiennent à ,naturellement la représentation graphique est un demi cercle du fait que celle ci soit pair ,une restriction du domaine peut s'appliquer à est bien entendu sa correspond à un quart de cercle. Le calcul de la surface est immédiat.

    En gros voici l'idée que j 'ai tenté de transmettre maladroitement

    Encore une fois merci ggo pour vôtre analyse

  13. #10
    andretou

    Re : probleme dans une intégrale

    Bonjour à tous

    J'ai essayé de calculer cette intégrale en m'inspirant de la méthode du changement de variable indiquée par Lucieeee


    mais je trouve un résultat bizarre...
    Pouvez-vous SVP m'aider à trouver l'erreur ? Je pense que mon changement de variable n'est pas "légal"... Mais pourquoi ?







    A noter que si on choisit de poser x = sinX, dans ce cas on trouve 1 au lieu de -1...
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  14. #11
    gg0

    Re : probleme dans une intégrale

    Bonjour.

    Le premier = est faux, tu n'appliques pas la formule du changement de variable dans les intégrales. Vois un cours de L1 sur l'intégration.

  15. #12
    andretou

    Re : probleme dans une intégrale

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour.

    Le premier = est faux, tu n'appliques pas la formule du changement de variable dans les intégrales. Vois un cours de L1 sur l'intégration.
    Mais pourquoi le changement de variable de Lucieeee est acceptable et pas le mien ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  16. #13
    ansset

    Re : probleme dans une intégrale

    dans un chgt de variable il faut changer aussi les bornes de l'intégrale ainsi que le dx en f(t)dt ou f(X)dX si tu choisis X comme symbole.
    deux choses que tu n'as pas faites.
    Dernière modification par ansset ; 04/01/2018 à 17h42.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  17. #14
    andretou

    Re : probleme dans une intégrale

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    dans un chgt de variable il faut changer aussi les bornes de l'intégrale ainsi que le dx en f(t)dt ou f(X)dX si tu choisis X comme symbole.
    deux choses que tu n'as pas faites.
    Si je remplace x par sinX, alors en effet les bornes deviennent et
    Mais lors du 2eme changement de variable (quand on remplace sinX par x), les bornes redeviennent 0 et 1.
    Il semble donc qu'on retombe quand même sur nos pieds...
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  18. #15
    andretou

    Re : probleme dans une intégrale

    Pour simplifier, recherchons simplement une primitive de






    Or, sinX = x


    La fonction f(x) = x est donc une primitive de !!!
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  19. #16
    ansset

    Re : probleme dans une intégrale

    non, même en enlevant les bornes, il faut changer aussi le dx, comme dit précédemment.

    en posant x=sin(t), alors dx=cos(t)dt et les bornes deviennent 0 et pi/2 soit

    soit

    je te laisse finir, il y a deux type de solutions.


    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #17
    ansset

    Re : probleme dans une intégrale

    deux manières de faire, je veux dire.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #18
    gg0

    Re : probleme dans une intégrale

    Changement de variable toujours faux. dx n'est pas dX.

    Autre chose : il n'y a aucune raison de trouver cos(X), en particulier si cos(X) est négatif, on ne trouve pas cos(X) (une racine carrée est un nombre positif).

    Moralité : prétendre faire des maths sans accepter d'appliquer les règles des maths est le plus sûr moyen d'obtenir n'importe quoi.

  22. #19
    andretou

    Re : probleme dans une intégrale

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    non, même en enlevant les bornes, il faut changer aussi le dx, comme dit précédemment.

    en posant x=sin(t), alors dx=cos(t)dt et les bornes deviennent 0 et pi/2 soit

    soit

    je te laisse finir, il y a deux type de solutions.


    Merci ansset. On a donc :



    A l'aide d'une petite intégration par parties, on obtient :


    D'où


    QUESTION : peut-on donc dire qu'une primitive de est
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  23. #20
    God's Breath

    Re : probleme dans une intégrale

    Bonjour,

    Le calcul de l'intégrale est correct.

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    QUESTION : peut-on donc dire qu'une primitive de est
    Non ! Il suffit d'ailleurs de dériver pour le vérifier.

    Je fais le calcul de primitive, en utilisant une linéarisation du cosinus au carré. La primitive de qui s'annule en 0 est



    Lors du changement de variable, la borne supérieure a été changée en qui satisfait : et , donc et ce signe connu du cosinus permet de l'exprimer sous la forme : .

    La primitive obtenue est donc : .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  24. #21
    ansset

    Re : probleme dans une intégrale

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Le calcul de l'intégrale est correct.
    certes, il l'est, mais on peut faire plus court,
    en posant de la même manière x=cos(t) ( et sans faire d'erreur avec les signes ) on obtient aussi

    donc si I est l'intégrale, en faisant la somme des deux ( comme sin²(x)+cos²(x)=1 ):











    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #22
    God's Breath

    Re : probleme dans une intégrale

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    on peut faire plus court
    On peut faire encore plus court en remarquant qu'il s'agit de calculer l'aire d'un quart de disque de rayon 1 :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  26. #23
    ansset

    Re : probleme dans une intégrale

    exact .......
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  27. #24
    andretou

    Re : probleme dans une intégrale

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Non ! Il suffit d'ailleurs de dériver pour le vérifier.
    Oui, en effet, n'est pas une primitive de ...

    Pour autant, n'y a-t-il pas un lien entre ces deux fonctions
    Comment peut-on qualifier ce lien ?

    Question subsidiaire : est-il possible de trouver une primitive de sans effectuer de changement de variable ? Comment ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  28. #25
    God's Breath

    Re : probleme dans une intégrale

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Pour autant, n'y a-t-il pas un lien entre ces deux fonctions
    Comment peut-on qualifier ce lien ?
    IL n'y a aucun entre tes soi-disant fonctions puisque l'égalité porte sur deux nombres et que la "prétendue" variable n'est en fait pas la même dans les deux membres de l'égalité…

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    est-il possible de trouver une primitive de sans effectuer de changement de variable ? Comment ?
    Il suffit d'intégrer par parties avec :



    d'où :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  29. #26
    andretou

    Re : probleme dans une intégrale

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    IL n'y a aucun entre tes soi-disant fonctions puisque l'égalité porte sur deux nombres et que la "prétendue" variable n'est en fait pas la même dans les deux membres de l'égalité…



    Il suffit d'intégrer par parties avec :



    d'où :

    Merci beaucoup !
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  30. #27
    fartassette

    Re : probleme dans une intégrale

    Bonjour


    Bonne année à vous et à tous !

    je n 'avais pas remarqué cette idée de l'IPP. Il me semble que la substitution trigonométrique fonctionne aussi.














    or,













    Au brouillon ,on trace un triangle rectangle et on place l' angle thêta à l'opposé de la longueur x .En principe l’hypoténuse fait 1 car et le côté adjacent à thêta c'est







  31. #28
    andretou

    Re : probleme dans une intégrale

    Excellent !!! (prononciation anglaise SVP)
    Toutefois, si je voulais chipoter un peu, ne faut-il pas préciser une condition essentielle concernant le changement de variable (qui n'est plus spécifiée si tu supprimes les bornes) ?



    Très bonne année à toi aussi !
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  32. #29
    ansset

    Re : probleme dans une intégrale

    non seulement, mais dans ta solution farfassette , tu cumules chgt de variable et IPP , alors que l'une des deux suffit.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  33. #30
    fartassette

    Re : probleme dans une intégrale

    bonjour


    on peut ajouter cet intervalle sa me semble plus cohérent



    et une ligne en plus pour vraiment rentrer ds les détails:



    ( on peut utiliser le cercle trigonomètrique pour visualiser le signe)

    bonne journée

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