Exercice sur les Applications

[invite20527e22]

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour savoir si j'ai correctement répondu aux questions, voici l'énoncé :

Soient deux ensembles E,F.

1) Soit A une partie de E⋂F. A est-elle une partie de E? de F? En déduire une comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

2) Soit B un ensemble qui est a la fois contenu dans E et aussi dans F. B est-il contenu dans E⋂F? En déduire une deuxième comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

3) Sur un exemple simple, montrez qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

4) Montrez que toute partie de E est une partie de E⋃F. En déduire une comparaison de P(E⋃F) avec P(E)⋃P(F).

Ce que j'ai répondu :

1) A∊P(E⋂F) <=> A⊂(E⋂F)

A⊂(E⋂F) <=> ∀x∊A, x∊(E⋂F)

or x∊(E⋂F) <=> x∊E et x∊F

ainsi ∀x∊A, x∊E et x∊F

on peut donc dire que A⊂E et A⊂F

donc A∊P(E) et A∊P(F)

On en déduit donc que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)

2) On nous dit que B∊P(E) et B∊P(F) donc que B⊂E et B⊂F

Si B⊂E et B⊂F alors B⊂(E⋂F)

Concernant la deuxième comparaison je ne sais vraiment pas ...

3) E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

Supposons un ensemble B⊂F et B∉P(E)

alors B⊂(E⋃F) mais B⊄E

4) Comme dit à la question précédente : E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

donc si x∊E, x∊ E⋃F

de la même manière :

si B⊂E alors B⊂(E⋃F) <=> B∈P(E) alors B∈P(F)

On en déduit donc que :

P(E⋃F)≠P(E)⋃P(F)

J'aimerai savoir si mes réponses et justifications sont correctes et pertinentes, merci beaucoup!
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[gg0]

Bonjour.

1) Tu peux aller plus vite, en utilisant E⋃F⊂E (ça fait partie de la définition). Ta dernière phrase n'est pas justifiée; tu as seulement prouvé que P(E⋂F)⊂P(E)⋂P(F). ce qui explique le 2, où on considère un élément B de P(E)⋂P(F).
2) Donc l'inclusion inverse
3) Tu es passé à côté de la question, on veut une partie de E⋃F qui n'est ni incluse dans E, ni incluse dans F. Un exemple simple suffit, avec des ensembles élémentaires, genre E={a,b}, F={c}.
4) Il y a bien mieux à faire. réfléchis un peu plus loin. On a travaillé avec l'intersection, cette fois on travaille avec la réunion.

Cordialement.

[invite20527e22]

Merci gg0 de m'avoir répondu.

Donc :

1) P(E⋂F)⊂P(E)⋂P(F)

2) P(E⋂F)⊃P(E)⋂P(F)

De ces 2 affirmations on en conclu que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)

3) Ok alors en reprenant votre exemple, on a E={a,b}, F ={c}

On veut montrer qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

E⋃F = {a,b,c}
P(E⋃F)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b ,c},{a},{b},{c},∅}

Pour le coup ça saute aux yeux {c}⊄E et {a}⊄F (par exemple)

[invite20527e22]

Bonjour.

1) Tu peux aller plus vite, en utilisant E⋃F⊂E (ça fait partie de la définition). Ta dernière phrase n'est pas justifiée; tu as seulement prouvé que P(E⋂F)⊂P(E)⋂P(F). ce qui explique le 2, où on considère un élément B de P(E)⋂P(F).
2) Donc l'inclusion inverse
3) Tu es passé à côté de la question, on veut une partie de E⋃F qui n'est ni incluse dans E, ni incluse dans F. Un exemple simple suffit, avec des ensembles élémentaires, genre E={a,b}, F={c}.
4) Il y a bien mieux à faire. réfléchis un peu plus loin. On a travaillé avec l'intersection, cette fois on travaille avec la réunion.

Cordialement.

Euh c'est vrai ça ? C'est pas plutôt E⊂E⋃F ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite20527e22]

Merci gg0 de m'avoir répondu.

Donc :

1) P(E⋂F)⊂P(E)⋂P(F)

2) P(E⋂F)⊃P(E)⋂P(F)

De ces 2 affirmations on en conclu que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)

3) Ok alors en reprenant votre exemple, on a E={a,b}, F ={c}

On veut montrer qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

E⋃F = {a,b,c}
P(E⋃F)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b ,c},{a},{b},{c},∅}

Pour le coup ça saute aux yeux {c}⊄E et {a}⊄F (par exemple)

EDIT : la consigne nous dit Sur un exemple simple, montrez qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

donc les exemples que j'ai donné sont faux, je rectifie : {a,c}⊄E et {a,c}⊄F (par exemple)

[gg0]

Message #3 :

Tu n'as toujours pas compris l'énoncé. Tu connais le sens de la forme grammaticale ni ... ni ... ?
On ne te demande pas une évidence, mais quelque chose d'assez élémentaire, quand même.

Message #4 :

Rien compris ! Tu parlais pour toi ?

NB : Rien ne sert de citer un message en 4 parties si tu veux parler de l'une seulement.

[invite20527e22]

Merci je crois avoir compris pour les 3 premières questions, concernant la question 4 :

E⊂(E⋃F)
F⊂(E⋃F)

P(E)⊂P(E⋃F)
P(F)⊂P(E⋃F)

Donc P(E)⋃P(F)⊂P(E⋃F)

(E⋃F)⊄E
(E⋃F)⊄F

P(E⋃F)⊄P(E)
P(E⋃F)⊄P(F)

Donc P(E⋃F)⊄ P(E)⋃P(F)

C'est juste ?

[minushabens]

Il peut se faire que EuF soit inclus dans E par exemple.

[invite20527e22]

Ah oui si F est un sous ensemble de E ou tout simplement si F est vide... mais comment on le démontre dans ce cas ?

[gg0]

A quoi sert cette troisième question que tu dis avoir comprise ???

[invite20527e22]

La question elle montre que tous les éléments de l'union de deux ensembles ne sont pas inclus dans les ensembles qui composent l'union (contrairement à l'intersection). ex E={a,b}, F={c}

EUB={a,b,c}

On a {a,c} qui n'est pas inclu dans E et qui n'est pas inclu dans F.

C'possible d'avoir de l'aide pour la question 4) ?

[gg0]

Ok,

tu as vu qu'on n'a pas P(E U F) inclus dans P(E) U P(F). Donc la question qui reste est de savoir si P(E) U P(F) pourrait être inclus dans P(E U F). or n'est-ce pas ce qu'on te fait prouver ? On ne te parle que des parties de E, mais on a la même situation sur les parties de F. Tu aurais dû y penser !!

Cordialement.

[invite20527e22]

Merci bcp pour votre aide!