Montrer que V est un sous espace vectoriel de R[X]

[invite0907e579]

Bonsoir

Dans un exercice de maths (L2 Physique) on me demande de montrer que V est un sous espace vectoriel de R[X] avec ces informations :

V = [P appartient à R[X], P(-X)=-P(X), deg(P) est inférieur ou égal à 5]

Pour cette question je suppose que connaître le degré de P n'a pas d'importance mais je me demande comment prouver les lois de composition interne avec cette équation : P(-X)=-P(X)

Pour la loi de composition interne * :
P(-1X)=-1P(X)
La loi est donc valable pour le scalaire Y=1, comment montrer qu'elle est valable avec tous les scalaires de K (R ou C) ?

Pour la loi de composition interne + :
Aucune idée

Merci par avance
-----

[gg0]

Bonjour.

"je suppose que connaître le degré de P n'a pas d'importance " Non, sauf que ça fait partie de la définition de V, donc il faudra t'en servir.

Pour la suite, tu donnes l'impression de ne pas avoir vu de cours sur les sou-espaces vectoriels. Ou alors tu t'exprimes de façon bizarre. Tu n'as pas dans ton cours une propriété qui caractérise les sev sans tout redémontrer ?

Et ton calcul "P(-1X)=-1P(X)" n'a rien à voir avec R[X]. les lois de composition portent sur les fonctions, pas sur leurs arguments !!

Rappel : R[X] est l'ensemble des polynômes à coefficients réels. On définit deux lois + et . sur R[X] (voir ton cours) qui font que (R[X],+,.) est un espace vectoriel réel. Si P et Q sont des polynômes, 3.P-4.Q est encore un polynôme (pas de X dans ces calculs).

Mon conseil : reprends complétement tes cours sur les espaces vectoriels et les sous-espaces vectoriels pour bien comprendre de quoi parle ton exercice, et quel petit travail tu dois faire.

Cordialement.

[invite0907e579]

Merci pour ta réponse.

""je suppose que connaître le degré de P n'a pas d'importance " Non, sauf que ça fait partie de la définition de V, donc il faudra t'en servir."
Je ne saisis pas, faut-il se servir de cette information pour cette première question ?

J'ai mon cours sur les sev sous les yeux et il y est écrit que l'on peut définir l'appartenance d'un espace vectoriel à un autre par la justification des lois de composition interne (peut être que mon cours est incomplet ?)

"Et ton calcul "P(-1X)=-1P(X)" n'a rien à voir avec R[X]. les lois de composition portent sur les fonctions, pas sur leurs arguments !!"
Si je traduis ce que dis mon cours avec les données de ce problème : (ø(X) : R[X]->P) pour tout A appartenant à K et pour tout X appartenant à R[X], ø(AX)=Aø(x) si X est ce que vous appelez "argument" alors la loi (.) ne porte t-elle pas sur la fonction et l'argument à la fois puisqu'elle est associée à chacun d'entre eux de part et d'autre de l'égalité ?

Qu'est-ce qui ne va pas ?

[invite9dc7b526]

Tu dois montrer que cet ensemble n'est pas vide (par exemple que 0 appartient à V), que si P et Q sont dans V, a et b sont des réels, alors aP+bQ est encore dans V. Tu vas bien être obligé de parler du degré de aP+bQ.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je ne saisis pas, faut-il se servir de cette information pour cette première question ?

As-tu vraiment lu l'énoncé ? La définition de V ?

J'ai mon cours sur les sev sous les yeux et il y est écrit que l'on peut définir l'appartenance d'un espace vectoriel à un autre ...

Ça m'étonnerait qu'il y ait ce mot dans ton cours. Et il montre que tu n'as rien compris à la notion de sous-espace vectoriel. Reprends ton cours pour comprendre ce qu'est un sev, et voir que F est un sev de (E,+,.) si F est une partie de E (donc est inclus dans E, mais n'appartient pas à E, n'est pas un élément de E) telle que, avec les lois induites sur F (je les note de la même façon, puisque ce sont les mêmes), (F,+,.) est un espace vectoriel.
Puis lis la suite, qui te donne une méthode pratique bien plus simple (rappelée par Minushabens) pour prouver que F est un sev de (E,+,.).

Bon travail d'apprentissage du cours !

[invite0907e579]

Bonjour,
merci à vous deux, je vais pouvoir m'en sortir maintenant.