champ de killing (points ou il s'annule)

[invite69d38f86]

Bonjour,

j'essaye de suivre pas a pas un texte en anglais sur l'espace temps. j'aurais pu poster en physique bien sur mais
je bute un probleme mathématique. je vous cite le passage en question.

dans un petit voisinage de n'importe quel élément de 2 surface P on peut obtenir une
région approximativement plane de l'espace-temps avec les symétries habituelles de Poincaré.

P est en fait ici de petite taille. je laisse la suite en anglais pour ne pas rajouter des problemes de traduction.

"In particular, there is an approximate Killing field χ generating boosts
orthogonal to P and vanishing at P".

de quel champ s'agit il? et son annulation sur P est elle exacte?
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[invite69d38f86]

J'aurais peut etre du indiquer le lien pour ce papier.
page 4 et derniere page sur la figure on voir que le vecteur de Killing est obtenu sur la droite a 45 degrés en multipliant
le vecteur unitaire k par le parametre affine que s'annule sur P.

le cbamp est il approximativement égal a dans le voisinage de P?

[PhilTheGap]

Bonjour

Il y a pas mal de liens qui explique ce qu'est le champ de Killing en RG. Je ne connais pas assez cette notion pour te répondre, mais il me semble qu'elle est liée à l'existence des coordonnées normales Gaussiennes en chaque point de l'espace temps, sans en être sûr. Quoi qu'il en soit, tu as intérêt à poster plutôt sur le forum de physique, tu auras une réponse bien plus rapidement.

[invite69d38f86]

merci de m'avoir lu.
ce ne sera pas nécessaire, je vous mettrai demain ce que j'ai compris. En attendant je vais voir les autres points difficiles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

on part ici d'un espace avec une métrique qui n'est pas celle de Minkowski où en tout point la métrique est donnée par la métrique 4 x 4 diag (1,-1,-1,-1)
on a des champs de Killing associés aux diverses symétries de translation rotations et transformation de Lorentz.
en particulier qui est en rapport avec les accélérations suivant l'axe z passant par un point p
choisi comme origine.

p etant un point quelconque de l'espace temps non plat on peut par un changement de coordonnées approprié avoir
localement la métrique diag (1,-1,-1,-1) en p.
et considérer le champ cité plus haut qui ne sera plus exactement de Killing mais laissera la mérique pratiquement a l'identique dans son voisinage.
l'écriture montre que le champ est nul dans le systeme ou p est l'origine.

pour la suite il faudra déterminer un axe privilégié autour duquel il y aura l accélération.

[PhilTheGap]

Je ne comprends pas ton . C'est une forme différentielle, donc quel rapport avec un champ de vecteur ? Par ailleurs, qu'appelles-tu ?

[azizovsky]

il a recopié la formule d'ici:

Toujours dans l'espace de Minkowski, les vecteurs sont également des vecteurs de Killing. L'existence de ces vecteurs implique la conservation du moment cinétique. De même, les vecteurs sont trois vecteurs de Killing. Dans la limite non relativiste, ils correspondent à la quantité , soit la valeur de la ie coordonnée à l'instant . Ces vecteurs, au nombre de 10, forment tous les vecteurs de Killing linéairement indépendants de l'espace de Minkowski.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_de_Killing

la carte définit une base dans l'espace :
et dans l'espace duel , la base duel :



pour simplifier, il faut passer par la dérivée suivant un vecteur d'une dérivée directionnelle, le commutateur est une dérivée de Lie ....

[azizovsky]

Elle stipule que la dérivée de Lie de la métrique riemannienne par rapport au vecteur de Killing est nulle

wiki

dans le cas simple indiquée en haut, on remplace la métrique par une fonction f(t,x) avec

il y'a les détails par exemple ici https://www.math.u-psud.fr/~pansu/web_dea/chapitre3.pdf, sauf il faut passer à la dérivée covariante....

[PhilTheGap]

pour simplifier, il faut passer par la dérivée suivant un vecteur d'une dérivée directionnelle, le commutateur est une dérivée de Lie ....

Je traduis que le champ de vecteur est associé à l'opérateur différentiel.
Merci de ta réponse