relation avec scalaires vers relation avec matrices

[coussin]

Bonjour à tous

Pour un scalaire x, on a si .
Comment cette relation s'applique-t-elle pour des matrices ? Prenons une matrice carrée . Est-ce une condition sur les valeurs propres de (ce qui sous-entendrait que la matrice doit être diagonalisable) ?

Merci
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[invite57a1e779]

Bonjour à tous,

Dans les anneaux de matrices, comme dans tout anneau, on dispose, pour tout entier naturel et toute matrice , de la formule :

où désigne la matrice unité.

Pour en déduire l'inversibilité de et l'expression de son inverse sous forme de série, il faut disposer d'une notion de convergence dans l'ensemble des matrices, auquel cas les deux propositions:

1. est inversible et
2. 

sont équivalentes.

Si on travaille sur le corps des nombres réels ou des nombres complexes, ou plus généralement sur un corps valué non discret, un espace de matrice étant de dimension finie ne peut être muni que d'une unique structure d'espace vectoriel topologique, et on peut effectivement prouver que la suite de terme général converge vers la matrice nulle si, et seulement si, pour toute valeur propre : , où il faut éventuellement plonger dans pour parler des valeurs propres non réelles d'une matrice appartenant à .

Mais si l'on travaille sur d'autres corps, la situation est différente. Sur les corps finis, par exemple, l'anneau des matrices est fini : la suite de terme général ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs, est par suite périodique à partir d'un certain rang, donc elle converge (quelle que soit la topologie) si, et seulement si, elle est constante.
La formule envisagée pour inverser la matrice ne fonctionne que pour un matrice nilpotente, auquel cas la série se réduit à une somme finie.

[coussin]

Merci beaucoup, c'est très clair