Liens entre racine et pgcd de polynome

[Bartoutatis]

Bonjour, je n'arrive pas bien à saisir le liens entre multiplicité des racines et pgcd, j'ai également du mal à me représenter conceptuellement et donc déduire les conséquences de la division d'un polynome par un autre ? dois-je imaginer cela comme des ensembles ?

Pour la première question, voici un cas plus précis, soit deux polynome P(x) = x^4 +x^3 - 3x^2 +2 et Q(x) = 4x^3 +3x^2 -6x -1, quelle liens puis fais entre le pgcd (P,Q) et la multiplicité des racines de P. Autant avec faire la division du polynome par le polynome dérivé, j'entrevois un liens avec la multiplicité des racines, mais deux polynomes quelconque ...

Merci d'avoir pris la peine de lire ce message, en espérant que vous puissiez m'éclairer.
Bonne fête de fin d'année
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[gg0]

Bonjour.

A priori, aucun lien. Par exemple ici, le pgcd est 1 (les polynômes sont premiers entre eux), donc la multiplicité des racines n'intervient pas. Si P et Q sont premiers entre eux, P² et Q² aussi, le pgcd ne change pas alors que la multiplicité a été doublée.
Par contre si l'énoncé était P(x) = x^4 +x^3 - 3x^2 -x +2, les questions seraient pertinentes.

Cordialement

[Bartoutatis]

Merci de la correction l'énoncé est en effet celui que vous avez proposé ... cependant je ne comprend toujours pas en quoi les questions deviennent pertinentes avec ce changement ?

[invitebb943ab6]

Il n'y a pas de lien en général...

Mais il y a des cas particuliers, comme ici.
Face à un polynôme, toujours tester des valeurs triviales.

as tu essayé x = 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bartoutatis]

La question étant exactement : calculer le pgcd (P,Q), le polynome P admet-il des racines multiples ?

J'imagine que je dois me servir du pgcd pour y répondre

[invitebb943ab6]

J'imagine que je dois me servir du pgcd pour y répondre

dit comme çà, non, je ne vois pas pourquoi. ce sont deux questions indépendantes.

mais dès qu'on a trouvé les racines de P et le pgcd(P,Q), alors on peut en déduire des choses sur Q(x).

PGCD(P,Q) = (x-1) et P(x) = (x-1)²(x+1)(x+2)

Comme x = 1 est racine double de P et que le pgcd est (x-1), que peux tu en déduire sur la multiplicité de la racine x = 1 pour le polynome Q(x) ?

[gg0]

Bonjour Bartoutatis.

C'est bizarre que tu n'aies pas réalisé pourquoi j'ai proposé ce changement, alors que tu parlais d'un polynôme et de son polynôme dérivé !!! le lien entre P et Q est ici assez évident !!

Cordialement.