Démontrer une propriété sur tout segment

[inviteb6351777]

Bonjour,

Pour montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle I on peut montrer que est continue sur tout segment inclus dans I.
Il semble que l'on puisse faire ce genre de démonstration pour toute propriété relative à la régularité de .
Cependant je ne comprends pas pourquoi cela est vrai. Mais surtout je ne comprends pas pourquoi cela n'est pas vrai pour toute propriété en général.

J'ai cherché une démonstration pour le cas de la continuité mais sans succès, je m'en remet donc à vous pour une piste ou des éléments de réponse.

Merci
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[invite23cdddab]

Il semble que l'on puisse faire ce genre de démonstration pour toute propriété relative à la régularité de f.


Cependant je ne comprends pas pourquoi cela est vrai. Mais surtout je ne comprends pas pourquoi cela n'est pas vrai pour toute propriété en général.

Non, ça n'est pas vrai pour toute propriété relative à la régularité de f, seulement les propriétés locales. Par exemple, la fonction f(x) = sin(x^2) est Lipschitzienne sur tout segment, mais pas sur tout R.


Par contre, si tu as une propriété de f au point a qui ne dépend que de ce qui se passe au voisinage de a, alors si c'est vrai sur tout segment, c'est vrai partout : tout point (ainsi que son voisinage) va être contenu dans un segment, donc va vérifier la propriété.

Par contre, si la propriété dépend de l'ensemble de la fonction, alors ça ne va pas marcher : une fonction continue est bornée sur tout segment, mais pas forcément sur tout intervalle

[invite82078308]

Bonjour,

Pour montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle I on peut montrer que est continue sur tout segment inclus dans I.
Il semble que l'on puisse faire ce genre de démonstration pour toute propriété relative à la régularité de .
Cependant je ne comprends pas pourquoi cela est vrai. Mais surtout je ne comprends pas pourquoi cela n'est pas vrai pour toute propriété en général.

(...)
Merci

Il faudrait définir ce qu'on entend par propriété de régularité.

Si tu prends une fonction discontinue, elle n'est pas forcément discontinue sur tout segment. Avec la propriété de discontinuité, cela ne marche pas.