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A propos du calcul de la dimension d'un SeV




  1. #1
    bendesarts

    A propos du calcul de la dimension d'un SeV

    Bonjour,

    J'aimerais résoudre le problème suivant :

    Soit H le sev de R4 engendré par les vecteurs
    u1=(1,1,0,1)
    u2=(-2,0,1,1)
    u3=(0,1,0,0)
    Montre que la dimension de H est 3?


    Je pensais utiliser le théorème du rang mais j'ai quelques soucis.

    Le rang de la matrice consitué par les 3 vecteurs en lignes fait 3.

    Le noyau de la matrice associé a un vecteur donc sa dimension est de 1.

    Donc, d'après le théorème du rang, j'obtiens dim H = 4 et pas 4.

    Est-ce que vous pouvez m'orienter pour résoudre cette question?

    Je vous remercie pour votre aide.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Tryss2

    Re : A propos du calcul de la dimension d'un SeV

    Il suffit de montrer que (u1,u2,u3) est une base de H.

    Vu que cette famille est, par définition, génératrice de H, il suffit de montrer que cette famille est libre. C'est à dire que les 3 vecteurs sont linéairement indépendants

  4. #3
    bendesarts

    Re : A propos du calcul de la dimension d'un SeV

    ok merci pour ta réponse et peut-on également passer par le th du rang ?


  5. #4
    gg0

    Re : A propos du calcul de la dimension d'un SeV

    Le théorème du rang ne parle pas de la dimension du sev. par contre "Le rang de la matrice consitué par les 3 vecteurs en lignes fait 3" justifie parfaitement que les sev engendré par les trois vecteurs est de dimensions 3, puisque c'est exactement ce que tu dis (revois la définition du rang).

    Le théorème du rang, lui, dit que la dimension de R^4 est bien 3 (rang de la matrice) + 1 (dimension du noyau) = 4.

    Cordialement.

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