A propos du calcul de la dimension d'un SeV

[invite00c17237]

Bonjour,

J'aimerais résoudre le problème suivant :

Soit H le sev de R4 engendré par les vecteurs
u1=(1,1,0,1)
u2=(-2,0,1,1)
u3=(0,1,0,0)
Montre que la dimension de H est 3?

Je pensais utiliser le théorème du rang mais j'ai quelques soucis.

Le rang de la matrice consitué par les 3 vecteurs en lignes fait 3.

Le noyau de la matrice associé a un vecteur donc sa dimension est de 1.

Donc, d'après le théorème du rang, j'obtiens dim H = 4 et pas 4.

Est-ce que vous pouvez m'orienter pour résoudre cette question?

Je vous remercie pour votre aide.
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[invite23cdddab]

Il suffit de montrer que (u1,u2,u3) est une base de H.

Vu que cette famille est, par définition, génératrice de H, il suffit de montrer que cette famille est libre. C'est à dire que les 3 vecteurs sont linéairement indépendants

[invite00c17237]

ok merci pour ta réponse et peut-on également passer par le th du rang ?

[gg0]

Le théorème du rang ne parle pas de la dimension du sev. par contre "Le rang de la matrice consitué par les 3 vecteurs en lignes fait 3" justifie parfaitement que les sev engendré par les trois vecteurs est de dimensions 3, puisque c'est exactement ce que tu dis (revois la définition du rang).

Le théorème du rang, lui, dit que la dimension de R^4 est bien 3 (rang de la matrice) + 1 (dimension du noyau) = 4.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]