Bonjour a tous , je me bloque dans un exercice sur le point fixe , je souhaite que vous puissiez m'aider .
Voila l'exerice :
Soit un espace vectoriel E de dimension finie norme de la norme N .
Soit f une application de E dans E telles que :
il existe un alpha qui appartient a ]0,1/2[ , quelque soit (x,y) appartient a E^2
N(f(x)-f(y))<alpha [ N(f(x)-x)+N(f(y)-y)]
Montrer que f admet un point fixe unique
merci pour vos aides
Comme souvent dans ces problèmes de point fixe, on étudie une suite définie par son premier termequelconque et par la relation de récurrence :
On commence par prouver que cette suite est convergente. C'est en général le point délicat, qui nécessite généralement la complétude de l'espace dans lequel on travaille.
On démontre ensuite que la limite de cette suite est un point fixe de
Bonjour je n'ai pas vraiment la solution mais un début de résolution qui peut toujours servir.
On applique l'hypothèse à y=f(x).
On arrive facilement donc à |f(x)-f(f(x))|< a/(a-1) |f(x)-f(f(x))| ( valeur absolue pour norme et a pour alpha)
On pose k=a/(a-1) et on a 0<k<1.
Soit x_0 quelconque et la suite x_{n+1}=f(x_n).
On a alors |x_{n+1}-x_n|<k |x_n-x_{n-1}| et on montre grâce à cela que la suite x_n est de Cauchy (car k<1) , donc converge (on est en dimension finie)
vers un nombre c \in E .
Si f est continue c'est terminé car à la limite on obtient c=f(c). De plus il est facile de voir que le point fixe s'il existe il est unique.
Pour finir la démonstration il reste à montrer que f est continue.
Rebonjour
on n'a pas besoin de savoir que f est continue
En effet on applique l'hypothèse à x=c et y=x_n.
En faisant tendre n vers l'infini obtient directement que c est point fixe (unique)
Après, telle qu'énoncée ici, l'inégalité de l'hypothèse permet aussi de prouver que f n'a pas de point fixe.
Soit x0 un point fixe de f, alors l'hypothèse appliquée à x=y=x0 entraine que 0<0 : contradiction
Bonjour Oui Tryss c'est exact. D'ailleurs j'aurai dû m'en rendre compte.
En fait je pense que l'inégalité est donnée au sens large. Je pense que ma démonstration résiste au cas où l'inégalité est large.
Sinon on reste sur ta remarque.
bonjour , voila la redaction ;
On a E est un espace vectoriel norme de dimension finie , donc E est un complet , donc fermee . Donc il existe une suite (un) des elements de F convergent dan (F,N) ( je me doute de cette phrase si elle doit etre ecrite ou ecrire seulement supposons qu'il existe une suite (un) ) u0=xet u{n+1}=f(u{n})
montrons que (u{n}) est de cauchy
supposons que y=f(x) donc N(f(f(x)-f(x))<=k N(f(x)-x) t k= a/(1-a) et 0<k<1
N(u{n+p}-u{n}<=sigma de i=0 a p-1 k^(n+i) N(u{1}-u{0}) =k^n*(1-k^p)/(1-k) *N(u{1}-u{0}) <=k^n/(1-k) N(u1-u0)
don lim N(u{n+p}-u{n})=0 donc un est de cauchy , don convergente vers s puisque l'espace est complet
lim u{n+1}=lim f(u{n})
don s=f(s) et donc admet un point fixe
je me doute just un peu de la redaction
Tryss2 en fait c just une faute de frappe c plutot <=
merci bcp JB2017 ,God's Breath et Tryss2 pour l'aide ^_^
ça à mon avis c'est un peu court.Envoyé par hibabel
si tu poses l=lim u(n) tu doit montrer que f(l)=l. Tu peux montrer que la distance entre l et f(l) est plus petite que tout epsilon fixé à l'avance.
je dois demontrer que l=f (l) ou plutot que lim f(un) =f(l) ?
Rebonjour
On est d'accord que la suite suite converge vers un élément s de E.
Comme la suite est définie par la relation u_{n+1}=f(u_n) on a envie de dire que s=f(s). Mais pour cela il faut l'hypothèse f est continue.
Mais ce n'est pas une hypothèse. De plus je ne suis pas sûr que les hypothèses impliquent que f est continue. Il faut donc voir l'indication que j'ai donnée dans un message précédent
i.e
on n'a pas besoin de savoir que f est continue
En effet on applique l'hypothèse à x=s et y=x_n.
En faisant tendre n vers l'infini obtient directement que s est point fixe (unique)
Bonsoir ,
mais ne puis-je pas ecrire tous simplement que lim f(un)=f(lim (un)) ?
Tu peux l'écrire, mais peux-tu le justifier ?
Pour une fonction quelconque, c'est faux.
dans le cas ou y=f(x) la fonction est lipschitizienne donc elle est continue .
dans ce cas on a u{n+1}=f(u{n}) donc on peut l'appliquer ?
Je ne comprends pas. Si c'est ta fonction f du début, tu ne sais rien de plus que l'hypothèse, pas qu'elle est lipschitzienne.
donc je dois montrer que lim f(un)=f(s) donc que lim N(f(un)-f(s))=0
on suppose que lim f(un)=f(s) don s=f(s)
N(f(un)-f(s))<=a(N(f(un)-un)+N(f(s)-s)<=ak^n *N(u1-u0)
lim N(f(un)-f(s))<=lim ak^n*N(u1-u0)
donc 0<=0 ce qui est vrai
donc lim f(un)=f(s)
ou on peut la montrer directement car
N(f(un)-f(s))*(1-a)<=aN(f(un)-un)+aN(f(un)-s)
on sait que lim N(f(un)-s)=0
et lim N(f(un)-un)=lim N(f(un)-s)+N(un-s)=0
donc lim N(f(un)-(f(s))(1-a)=0=limN(f(n)-f(s))
