petite question pour comprendre les formules que je lis

[Vargo]

Bonjour
J'ai une question au sujet de l'utilisation des dérivées partielles dans la topologie
En principe, la notation de la dérivée partielle est :
∂f/∂x
Mais je me demandais si on trouve toujours cette notation, ou si elle est contracté en ∂x, ou sinon pourquoi dans les calculs je ne retrouve pas cette notation avec le "nom" de la fonction en haut du quotient à chaque fois qu'il y a une dérivée partielle
Oui, je ne fais pas beaucoup de maths du coup j'ai pas trop l'habitude de manipuler les opérations, je suis plus dans une compréhension globale (en effet je suis étudiant en histoire donc pas trop le temps!)

J'ai une deuxième question :
qu'est-ce que la dérivée extérieure? Je sais ce que c'est qu'un covecteur (c'est un vecteur covariant, sa transformation est l'inverse de celle d'un vecteur) mais je ne vois pas de quelle manière il est lié à la dérivée extérieure.
Si j'ai bien compris, la dérivée partielle associe à une fonction à n variables, une autre fonction à n-1 variables.
La dérivée extérieure associe quoi à quoi ?

Et enfin :
Si dans les calculs liés à la relativité d'Einstein je trouve "d" quelque chose, dx(mu) par exemple, est-ce que ce d est forcément une dérivée extérieure ou il peut désigner autre chose?
Merci de votre aide!
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[albanxiii]

Bonjour,

On note parfois dans les textes de physique.

Pour la dérivée covariante, un ";" au lieu de la virgule.

[Vargo]

Ok

Bon je vois que j'ai fait une erreur. La dérivée partielle, à une fonction à n variables, associe une fonction à une seule variable,

Merci Alban d'avoir répondu à ma première question.

Et pour les autres??

[God's Breath]

La dérivée partielle, à une fonction à n variables, associe une fonction à une seule variable,

Heu… Les dérivées partielles d'une fonction de n variables sont encore des fonctions de n variables.

Par exemple :


D'ailleurs ces trois dérivées partielles ne sont pas les composantes d'un vecteur, mais d'un covecteur, la différentielle ou dérivée extérieure de ; il faut munir l'espace d'une structure euclidienne pour y ramener ce covecteur en tant que vecteur ... le gradient de la fonction .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Vargo]

Mmh merci...
Bon j'avais mal compris.
Du coup je récapitule ces histoires de dérivées, j'essaie de ne pas les confondre :

La dérivée partielle d'une fonction est une autre fonction qui décrit la variation d'une de ses variables quand toutes les autres sont fixes.
La dérivée extérieure d'une fonction est un covecteur.
La dérivée covariante, c'est celle qui formalise la courbure de l'espace, j'ai à peu près compris l'histoire du transport parallèle, ça va, c'est un opérateur de valence [0 1] donc il rajoute +1 au rang du tenseur.

Mais du coup, si la dérivée extérieure d'une fonction est un covecteur... et que le gradient de la fonction est lui aussi un covecteur, quelle est la différence entre les deux?

[God's Breath]

Le gradient est un vecteur, pas un covecteur.

En général, il n'est pas défini, mais si on dispose d'une structure euclidienne ou (hermitienne…) sur l'espace, on peut ramener interpréter la différentielle (le covecteur) par produit scalaire (et c'est le rôle du vecteur gradient).

[Vargo]

D'accord... je disais que c'était un covecteur car je lis un peu partout qu'il est une grandeur covariante, mais peut-être avais-je mal compris ce que cela voulait dire

[mach3]

Le gradient est un vecteur, pas un covecteur.

En général, il n'est pas défini, mais si on dispose d'une structure euclidienne ou (hermitienne…) sur l'espace, on peut ramener interpréter la différentielle (le covecteur) par produit scalaire (et c'est le rôle du vecteur gradient).

C'est discutable. Selon les sources, "gradient" ne recouvre pas exactement les mêmes choses. Dans certains bouquins, la 1-forme df (donc covariante, un covecteur quoi) est appelé gradient de f (le cadre étant la topologie différentielle, donc sans structure métrique) et son application sur un vecteur donne la dérivée directionnelle de la fonction f suivant ce vecteur.
Dans le cas où une structure métrique est présente, on peut transformer la 1-forme df en un vecteur (on parle du coup de "vecteur gradient"). Effectuer des produits scalaires entre le vecteur ainsi obtenu et un autre vecteur est équivalent à l'application de df en tant que 1-forme à cet autre vecteur.

@Vargo

Pour revenir sur la 1ere question de départ, il y a des petites subtilités auxquelles il faut faire attention et qui ne sont pas forcément explicites dans certains écrits.
On prend une variété, on considère un champ scalaire f défini dessus, on considère toutes les courbes paramétrées qui passent par un point de la variété et on s'intéresse aux variations de f le long de ces courbes au point considéré.
Au point considéré, ces courbes paramétrées possèdent toutes un vecteur tangent (tel que si je divise le vecteur par N, il coïncide, à la limite où N tend vers l'infini, avec une fraction de la courbe telle que son paramètre change de 1/N) et l'ensemble de ces vecteurs tangent forme l'espace vectoriel tangent au point considéré, espace vectoriel tangent qui vient avec son dual, l'espace des applications linéaires transformant les vecteurs en scalaire, c'est-à-dire des 1-formes.
Considérons un vecteur u tel qu'il soit tangent à une courbe de paramètre lambda (un fragment de la courbe le long duquel lambda varie de 1/N s'identifie à u/N si N tend vers l'infini). La dérivée directionnelle de f suivant u sera simplement et se note. Elle peut se voir de deux manières équivalentes :
-l'application de la 1-forme gradient df sur le vecteur u :
-l'application du vecteur u, vu comme un opérateur de dérivation directionnelle, sur le champ scalaire f :

En décomposant le second suivant une base arbitraire de l'espace tangent, on a :
est la dérivée directionnelle suivant un vecteur de base qu'on note encore : , voire même . Ce sont les composante de df dans la base duale à la base arbitraire choisie :

Autrement dit , étant les 1-formes de la base duale.

Attention, ici il n'est pas encore question de dérivées partielles! Considérons un champs de vecteurs u sur la variété, alors en chaque point, j'ai un [u]f (dérivée directionnelle de f, en ce point, suivant le vecteur u, en ce point), qui est un nouveau champ scalaire. Et je peux alors prendre à nouveau sa dérivée directionnelle suivant un autre champ de vecteur v : [v]([u]f). Il n'est pas du tout évident que faire l'inverse (dérivée directionnelle suivant v puis suivant u) donne la même chose.
Un exemple simple : les champs de vecteurs et qui forme la base orthonormale locale du plan quand on travaille en coordonnées polaires (r,). Non seulement n'est pas la dérivée partielle de f par rapport à theta, mais en plus .
Il faut que les champs u et v ait une particularité pour que la dérivée directionnelle soit une dérivée partielle...

Il faut introduire des "coordonnées", autant de champs scalaires indépendant sur la variété que celle-ci possède de dimension. On considère les gradients de ces coordonnées, , qui forment une base de l'espace dual de l'espace vectoriel tangent. La base de ce dernier sera alors constituée des opérateurs de dérivée partielle : .
Dans cette base là, dite base coordonnée ou holonomique, on a :

et

et aussi


Si j'ai un vecteur , il se décompose dans une base holonomique comme :



et si je l'applique au champs scalaire f j'ai



Il arrive souvent dans les textes que l'on travaille dans une base holonomique de façon implicite et donc les ou sont allégrement confondus avec

on parlera de la dérivée extérieure dans le prochain post, mais c'est un sujet que je maitrise moins...

m@ch3

[mach3]

La dérivée extérieure "d" est un opérateur qu'on peut appliquer à n-forme (applications linéaires antisymétrique transformant un n-uplet de vecteur en scalaire) pour obtenir une (n+1)-forme.

Bon, c'est un peu abrupt. Commençons en bas de l'échelle. Un scalaire f est une 0-forme. Si on lui applique l'opérateur de dérivée extérieure, on obtient df, le gradient de f, une 1-forme. df est une dérivée directionnelle "en puissance", c'est à dire que c'est une variation de f dans une direction qui n'est pas spécifiée (on la spécifie si on applique df sur un vecteur). df peut se décomposer suivant une base de l'espace dual :

, où les sont les 1-formes de cette base.

La dérivée extérieure d'une fonction scalaire sur une variété est une 1-forme, le gradient de f, mais toutes les 1-formes ne sont pas des dérivées extérieures de fonctions scalaires. Par exemple les de la base qui précède peuvent ne pas être les gradients de quelque chose. Il n'y a que si la base est holonomique que c'est le cas : la base est alors formée par des , qui sont les gradients des coordonnées.

On peut voir une 1-forme comme une série de (hyper)surfaces localement parallèles entre-elles. Et on peut voir un vecteur u comme une petite flèche qui perce un certain nombre de ces surfaces parallèles, ce nombre étant l'application de la 1-forme sur u (ça peut être positif ou négatif, ça dépend du sens de u... et nul si la flèche tombe parallèle aux surfaces, donc si le vecteur est orthogonal à la 1-forme). Encore une autre façon de voir la dérivée directionnelle.

Si la 1-forme est un gradient, alors les ensembles de surfaces peuvent être connectées entre-elles de points en points et former les surfaces de niveau de la fonction f. Par contre si ce n'est pas un gradient alors il n'y a pas de connexion correcte possible, il y a des surfaces qui apparaissent de nulle part ou disparaissent comme par magie d'un point à un autre.
Les 1-formes et en coordonnées polaires 2D donnent un bon exemple de ça. Si on fait le tour de l'origine, a une distance r, on va croiser un certain nombre de lignes de , et ce nombre sera indépendant de r, on pourra donc raccorder tout le monde ensemble pour faire de belles radiales (une divergence nulle!). Si on fait la même chose avec , alors plus on est loin, plus on croise de lignes en faisant le tour. Impossible de tout raccorder, il y a de nouvelles radiales qui apparaissent au fur et à mesure qu'on s'éloigne du centre.

Avec le produit extérieur (), on peut fabriquer des choses encore plus élaborées. Le produit extérieur de deux vecteurs est un bivecteur. Cela correspond à une surface orienté, celle du parallélogramme formé par les deux vecteurs. Le produit extérieur de deux 1-forme est une 2-forme. A la place d'un ensemble de surfaces, c'est un ensemble de tubes (les surfaces de la première 1-forme croisées dans celles de la seconde). Et l'application d'une 2-forme sur un bivecteur donne le nombre de tubes de la 2-forme qui sont coupées par la surface du bivecteur. On peut aller encore plus loin avec les trivecteurs qui sont des volumes orientés, et les 3-formes qui sont des maillages 3D...

L'opérateur de dérivation extérieure a pour propriété un peu particulière d²=0. C'est-à-dire que si on prend deux fois de suite la dérivée extérieure de quelque chose, on obtient 0. La dérivée extérieure d'un gradient d'une fonction est donc nulle. Par contre la dérivée extérieure d'une 1-forme qui n'est pas un gradient est une 2-forme. Par exemple la dérivée extérieure de est .

m@ch3

[Vargo]

J'ai bien tout lu attentivement, c'est très intéressant
je laisse infuser un peu, quitte à tout reprendre en m'aidant de tes posts plus tard quand j'aurais un peu plus de temps devant moi pour faire des maths
Merci mach