Pertumation sigma et lim ?

[invite03ef28af]

bonjour voici mon problème:
on note pour tout k dans N une suite de réels positif (ou nul)
on suppose que ces suites convergent et on note leurs limites

On note
on se donne r>0 et on suppose que la suite est bornée par A

je dois montrer que est convergente et de somme inferieur a A.

J'ai alors un doute sur ma solution que voici :
On suppose divergente
alors dans un voisinage de et donc c'est impossible.

Puis en procedant de meme on montre l'inegalité sur la somme.
Cependant j'ai l'impression que je fais des permutation de sigma et limite non justifiées (qui seront justifiées dans la question suivante)
Qu'en pensez vous ? Ma solution elle est juste ?
Merci
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[invite270c37bc]

salut!

je sais pas si ce que tu as écrit est juste, néanmoins on a en régle générale pas le droit d'intervertir intégrale et limite (donc par extension somme et limite);

j'ai pas très bien compris ton énoncé, si il s'agit de démontrer pour x < r que la somme est convergente tu peux simplement dire que fn(x) est bornée par A, somme de termes positifs donc croissante srictement et donc convergent...

[invite57a1e779]

On suppose divergente
alors dans un voisinage de et donc c'est impossible.

Je ne vois aucun théorème pour justifier ce raisonnement.

Où il faut citer un théorème précis, ou il faut détailler l'argumentation pour établir rigoureusement la contradiction.

[invite03ef28af]

Je me suis trompé en effet je veux montrer pour x=r

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03ef28af]

god's breath , comme a_k est la limite de a_{n,k}
et qu'on a
et que
il existe N tel que pour tout n>N



je ne sais pas si c'est juste mais je ne vois pas pourquoi ca serait faux

[invite57a1e779]

Que ce soit x ou r n'a aucune importance.

Tu fais une supposition qui porte sur une série dont les coefficients sont les a_k ; je te demande comment tu peux en déduire un résultat sur une série dont les coefficients sont les a_n,k en faisant intervenir un n que tu ne te donnes même pas la peine de définir…

Ou tu cites un théorème, ou tu donnes des arguments en utilisant explicitement la convergence des a_n,k vers a_k et en explicitant l'apparition du fameux indice n.

[invite57a1e779]

je ne sais pas si c'est juste mais je ne vois pas pourquoi ca serait faux

Ca n'est certainement pas faux, puisque c'est le résultat à prouver…

mais j'aimerai une écriture rigoureuse des définitions de la divergence de la série d'une part, de la convergence des suites a_n,k d'autre part, pour justifier rigoureusement l'existence de n.

En particulier, il n'est certainement pas anodin qu'on suppose les a_n,k et r positifs, ce dont tu ne te sers visiblement pas dans ton raisonnement...

[invite03ef28af]

je ne comprends pas n'est ce pas ce que je viens de faire ?

[invite03ef28af]

Soit

alors pour tout k dans 1 ,p il existe N_k tel que pour tout n>N_k |a_k-a_{n,k}|<

j'image alors qu'on peut se placer apres le max des N_k
puis se debrouiller avec les inegalités mais dans l'immediat je ne vois pas

[gg0]

Et si le max des nk n'existe pas (ou si tu préfères, est infini) ?
Et que fais-tu de la somme d'une infinité de termes ?

Tu passes la plupart des difficultés "sous le tapis".

Cordialement.

[invite03ef28af]

Ayant fixé le nombre de terme (p) le max des N_K existe. Je pensais ensuite faire tendre p vers l'infini.
Mais je me demande si c'est vraiment la bonne méthode ou si l'application d'un théorème puissant type domination est possible....

[gg0]

Désolé, j'avais raté le p, non annoncé. reste que quand p tend vers l'infini, le total des epsilon aussi.

[invite57a1e779]

C'est un bon début. On a plus à considérer une infinité de termes, mais un nombre fini, pour k de 0 (et pas de 1) à p.
Il reste à monnayer cette réduction au fini.

Tu peux continuer sur ton idée : tu n'as qu'un nombre fini de N_k, donc ils ont effectivement un max.

Une autre approche, considérer la somme comme fonction des coefficients, c'est-à-dire, considérer la fonction f de p+1 variables définie par :



qui est une fonction polynomiale, du premier degré en chaque variable, c'est-à-dire (je ne sais pas si c'est utile) que f est une forme linéaire sur l'espace vectoriel R^p+1 dans lequel vit le n-uplet (b_k,b₁,…,b_p)

[invite03ef28af]

Oui c'est mon problème et c'est pour ça que j'ai remis en cause la direction qu'à pris ma preuve

[invite57a1e779]

Avec N le max des N_k :



et il faut gérer la somme de la suite géométrique suivant que r vaut 1 ou non...

Le problème c'est que la somme, supérieure à A, à la somme , inférieure à A, peuvent être proches de A, donc proches entre elles : il vaut mieux utiliser la divergence de la série avec l'inégalité : tu assures que la différence avec est au moins de 1, alors que la différence est petite quand on la contrôle avec .

[invite03ef28af]

je crois avoir trouve a vrai dire


Comme la somme est finie , on peut permettuter limite et somme
donc
ainsi par definition de p

Ainsi par definition de la limite il existe N tel que pour tout n superieur ou egale a N:



or les a_{n,k} et r sont positifs, donc en sommant les termes manquants, pour n plus grand que N


impossible par hypothèse

qu'en pensez vous ?
je pense proceder de la meme maniere pour montrer que

[invite03ef28af]

je veux dire bien sur

[invite57a1e779]

Comme la somme est finie , on peut permettuter limite et somme
donc

Cet argument, c'est celui auquel je pensais dans ma réponse #13 en parlant de la continuité de la fonction qui donne la somme partielle en fonction des p+1 coefficients

Ainsi par definition de la limite il existe N tel que pour tout n superieur ou egale a N:

Hélas non, à cause de l'inégalité large dans la valeur de la limite !
Il se peut que : avec .

Comme je te l'ai dit, si tu veux raisonner par contraposition ou par l'absurde, il faut définir le rang p de troncature de la série par : , en introduisant, grâce au « +1 », une marge de manœuvre qui contraint l'existence d'une somme partielle telles que , d'où a fortiori : .

Tu peux aussi raisonner directement :

Comme tous les termes sont positifs, pour tout , pour tout :

.

Comme la somme est finie, on permute somme et limite :

.

La série a :
1. le terme général positif ;
2. les sommes partielles majorées, par ;
donc cette série converge et sa somme satisfait également :.

[invite03ef28af]

ah oui j'avais d'ailleur mis des inegalité strictes pour contrer le passage a la limite,
la preuve directe est en effet plus elegante
Merci

[invite57a1e779]

La preuve directe est généralement la plus élégante.

Ce qu'il faut retenir de la démarche par contraposition ou par l'absurde, c'est le principe de se prémunir d'un mauvais coup en prenant une marge de manœuvre.
Le truc de mettre une inégalité stricte peut fonctionner, mais il y a pas mal de cas où on ne pourra pas maintenir l'inégalité stricte :
soit que l'ait un passage à la limite : a_n<b_n ne permet pas de déduire lim a_n < lim b_n ;
soit que l'on multiplie par un facteur qui peut s'annuler : de a<b ne permet pas de déduire a|x|<b|x| pour tout x ;
soit…