une question sur les congruences de type lumiere

[invite69d38f86]

Bonjour a tous et a toutes.

je lis un texte en rapport avec l'espace temps courbe a 4 dimensions (+ + + -)

on y considere un morceau de 2 surface S de genre espace et p désigne un de ses points. la métrique permet de déterminer maniere unique une sous variété orthogonale a S qui intercepte les cones de lumiere de p. deux géodésiques du genre lumiere
passant par p sont dans cette sous variéié. on en choisit une. et on étend par continuité ce choix a tous les éléments p de la
2 surface. on obtient ainsi un pinceau de congruences de type nul (ou lumiere).
ces géodésiques peuvent etre vues comme des rayons de lumiere émise en chaque point p perpendiculairement a S

il est écrit que l'on peut toujours pour un point p donné choisir une 2 surface dans son voisinage telle que les congruences "transportent" S sans la déformer. le texte anglais parle de vanishing expansion and shear.
j'imagine que pour cela les normales a S doivent en quelque sorte rester paralleles.

Cpmment peut on exprimer cela?
j'ai vu que la nullité de l'expansion est celle de la 4 divergence covariante de la congruence
mais il reste le cisaillement
N'y a t il pas un champ vectoriel unique a annuler?

merci
-----

[invite69d38f86]

voici le lien vers l'article
c'est a la page 2
il est dit qu'on peut choisir la 2 hypersurface de telle facon que la congruence soit sans expansion en p.

[invite69d38f86]

en cherchant sur le net il apparait que cette deux surface est déterminée en p bien sur pas sa normale mais aussi par se
seconde forme fondamentale.

[invite69d38f86]

passons a un autre point de ce papier.

l'auteur considere un champ vectoriel tangent sur cet espace temps courbe et parle de sa partie a l'ordre 0 1 et 2.
a quoi ceci correspond il?
de valeurs dans un voisinage de p connaissant celles en p?
c'est quelques lignes plus bas page 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

Quelqu'un pourrait il m'expliquer ce que signifie

"to solve an equation out to some order in a neighborhood of p" (page 2 du lien)?

merci.

[invite9dc7b526]

bonjour, je me demande si tu ne devrais pas poster en physique. Tes questions font appel à des notions que les mathématiciens non physiciens risquent de ne pas connaître. Par exemple, je sais ce qu'est une surface mais je n'ai aucune idée de ce qu'est une "surface de genre espace" (pour moi le genre d'une surface est un entier).

pour la traduction, je crois deviner qu'il s'agit de fournir une solution approchée (par un développement tronqué à un certain ordre) à une certaine équation.

[invite69d38f86]

Merci pour cette réponse.

j'avais effectivement envisagé de demander a un modo de la mettre en physique. Mais ce serait un échec car mon but est de cerner l'outil mathématique utjlisé.
Il y a un gros probleme de communication entre physiciens et mathématiciens du au vocabulaire utilisé.
je vais essayer de traduire ce texte de physique
on a ici une variété de dimension 4 munie d'une métrique riemanienne.
l'article connexion affine situe bien le cadre du probleme.
On a un produit scalaire sur l'espace tangent (V,W)
en physique un vecteur tangent est dit du genre espace si (V,V) > 0
du genre lumiere on nul si (V,V) = 0
du genre temps si (V,V) < 0

et pour compliquer un peu certains auteurs prennent la convention opposée pour les signes c'est pourquoi on
précise souvent la signature +++- ou ---+

[invite69d38f86]

pour la traduction, je crois deviner qu'il s'agit de fournir une solution approchée (par un développement tronqué à un certain ordre) à une certaine équation.

je sais ce qu'est un développement limité sur un espace plat.
mais quand on a un champ sur une variété courbe, comment exprimer son développement aux différents ordres?
a noter que dans le cas qui m'intéresse ce qu'il y a a développer n'est pas une fonction réelle mais un champ vectoriel.

[azizovsky]

Bonjour, j'ai trouvé ce document : http://www.numdam.org/article/AIHPA_1968__8_3_253_0.pdf, si tu'arrive à déchiffrer quelque chose ...(les équations tombent du ciel... )
pour le développement d'un champ de vecteur au premier ordre, j'ai trouvé dans l'un de mes calepins :

(f(x+dx)~f(x)+f'(x)dx) approximation de V au pt Q. (il y'a un bail avec ça ...)

[invite69d38f86]

merci pour le lien.
c'est plein de renseignements. je n'étais jamais tombé dessus.
j'y vois que ce que j'appelais expansion est appelé ici dilatation.

sinon pour le développement limité en espace courbe on doit sans doute voir apparaitre la dérivée covariante et la fonction
exponentielle de transport sur les variétés.

[azizovsky]

en optique géométrique la direction de la propagation d'un rayon lumineux est déterminé par le vecteur d'onde (tangent au rayon...)sous la forme , étant un paramètre qui varie le long du rayon, en RR, càd , dans un champs gravitationnel cette équation s'écrit :


le carré du 4-vecteur d'onde est :

c'est la seule équation que j'ai bien compris dans le document ....





transformation du tenseur






on passe par l'approximation


on compose et pour voir de combien a changé de P à Q

(dérivée de Lie )
on trouve

(symboles de Christoffel se compense ...)


on peut trouver directement la dérivée de Lie , on faisant la différence entre la dérivée directionnelle d'un dérivée directionnelle en inversant les vecteurs de dérivation...., ce qui donne le commutateur ...(bon continuation )

[invite69d38f86]

d'accord,
ce je le retrouve dans le papier que je lis. il est nul sur la 2 surface.
on a des congruences que ne sont nulles nulle part mais en les multipliant par le parametre local
on obtient un champ de vecteurs nuls sur ce patch de dimension 2
j'essaie de voir la différence avec le champ

[azizovsky]

moi aussi j'essaye de comprendre la situation physiquement, la représentation mathématique dépend de ce qu'on a compris, quelle équation qui régie ce champ nul ?

[azizovsky]

je vient de jeter un coup d' oeil, il y'a

while Killing’s equation imposes that
the second order part vanishes

dans l'espace de Minkowski

une 2ème diff donne:








anti-diff: ===>===>

==>( matrice antisymétrique)



pour un vecteur qui vérifie la condition :



dans l'espace Minkowskien le vecteur tangent



on pose




avec


ceci n'est possible seulement si la métrique g =cst ....

j'espère que ceci va t'aider un peu ....

[invite69d38f86]

merci pour tes recherches

des la deuxieme ligne tu quittes les dérivées covariantes.
on peut sans doute les garder un peu plus longtemps quand ce qui est écrit reste vrai.
la premiere ligne est une conséquence de la définition d'un champ de Killing. mais un tel champ n'existe pas toujours pour une métrique donnée. l'auteur dit qu'on peut se contenter pour le champ de vérifier cette équation
dans le phrase citée il semble que le terme de gauche soit donc le "second order part" mais de quoi?
a l'ordre 0 on a le champ nul en p et a l'ordre 0 un opérateut que laisse invariant la 2 surface. il parle de ca comme la donnée initiale.
a suivre....

[azizovsky]

il a dit

To define the heat flux and temperature we employ an approximate boost Killing vector field χ a that vanishes at p and whose flow leaves invariant the tangent plane Bp to B at p

il y'a aussi la 'représentation' d'un vecteur dans la base duel càd :
si (dans le précédent message):



avec


.........
........
aussi si


est un vecteur générateur de rotation autour de l'axe z

........de même pour la rotation autour des autres axes.

un peu d'outils ...

[invite69d38f86]

je vient de jeter un coup d' oeil, il y'a



dans l'espace de Minkowski

une 2ème diff donne:








anti-diff: ===>===>

==>( matrice antisymétrique)



pour un vecteur qui vérifie la condition :



dans l'espace Minkowskien le vecteur tangent



on pose




avec


ceci n'est possible seulement si la métrique g =cst ....

j'espère que ceci va t'aider un peu ....

Si a la place de
on avait

la dérivée covariante seconde de serait nulle.
d'ou sans doute ce second ordre nul dont il est question.

il faudrait voir aussi ou c'est utile dans la suite.

[azizovsky]

la vérité, moi je pense aux surface d'un champ d'extrémale, en gros au principe de Huygens, si l'espace est homogène (n=cst=c/v) les extrémales sont des droites, elle engendre un champ si et seulement s'elles sont normales à la surface ..., mais j'ai perdu l'envie de chercher .

-

la dérivée covariante seconde de serait nulle

, oui c'est possible , il faut du temps pour cerner les idées ....

[invite69d38f86]

merci de toute facon pour tes interventions.

le commutateur de dérivées covariantes n'etant pas identiquement nul il manque quelque chose a ce que j'ai écrit.

[azizovsky]

il commute seulement si les vecteurs ne dépend pas du déplacement (de x) , càd si par exemple en dérive suivant u(x) et v(x) avec u'(x)=0 et v'(x)=0 (pour la dérivée de Lie, j'ai mal lu...)

[azizovsky]

pour le commutateur des dérivés covariante s'annule c'est la même chose, si en construisant le tenseur R, on choisie pour le champ par exemple U(x) juste ce champ obtenu en translatant le vecteur U(x), alors , la diff absolue d'un vecteur translaté étant nulle on aura D(U)=0 et D*(U)=0, avec

[azizovsky]

pour une surface (P) 2D , si on pose :



et par

les diff et commutent .....

et par et les diff absolues respectives.

et un champ vectoriel



bon courage pour comparer avec ce que tu'as fait .(moi, terrasser par le rhume )

[invite69d38f86]

je vient de jeter un coup d' oeil, il y'a



dans l'espace de Minkowski

une 2ème diff donne:








j'espère que ceci va t'aider un peu ....

je rappelle ce qui est dit dans le papier
on a un champ vectoriel vérifiant
dont les valeurs a l'ordtr 0 et 1 sont des données de départ. en particulier le champ s'annule en un point p.
si on n'a pas comme on l'aurait si l'espace était minkowskien, on a en revanche
au point p
en effet on peut voir ici que l'hypothese de Killing inplique

et comme ce champ s'annule en p, le terme de droite est nul. on a donc au point p
ce qui implique que dans la série de taylor covariante de ce champ le terme a l'ordte 2 est nul.
ce qui d'ailleurs n'est pas vrai aux ordres supérieurs.