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primitives

  1. #1
    Momo54500

    primitives

    Bonsoir,

    je viens à vous car j'ai un problème avec deux primitives avec lesquelles j'ai un peu de difficultés

    1) primitive de 1/(1+x+x²)
    2) primitive de x/(2+2x+x²)

    pour la 1 j'ai essayé de faire un changement de variable mais rien à faire je n'y suis pas arrivé

    Merci à vous.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : primitives

    Bonjour.

    Ces primitives se trouvent avec des méthodes qui sont dans tous les cours sur l'intégration des fractions rationnelles. Donc
    1) tu apprends ton cours (ou le cours correspondant)
    2) tu le mets en œuvre et, conformément aux règles du forum (http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html), tu commences ton travail, et s'il y a un blocage, tu reviens exposer ce que tu as fait (pas un baratin qui ne prouve même pas que tu as essayé comme "j'ai essayé de faire un changement de variable") et on t'aidera à faire.

    Mais d'abord, apprends !!

  4. #3
    God's Breath

    Re : primitives

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Momo54500 Voir le message
    pour la 1 j'ai essayé de faire un changement de variable
    Lequel ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #4
    fartassette

    Re : primitives

    bonjour , un petit indice pour mettre sur la voie momo 54500





    Le premier changement de variable:

  6. #5
    Momo54500

    Re : primitives

    Bonjour

    Merci à Vous pour vos réponses
    Tout d abord gg0 si je pose des questions c est tout simplement parce qu après avoir relu le cours je n ai pas réussi

    Ensuite concernant le changement de variable
    J ai pris u = racine carrée de (x*x^2), car on sait que intégrale de 1/1+u2=arctan(u)
    Mais ensuite je suis tombé sur une intégrale très difficile à calculer

    Et fartassette je crois que je viens de comprendre je vais faire ca et je reviens à vous

  7. #6
    Momo54500

    Re : primitives

    U = racine de (x+x2) pardon
    Pas *

  8. #7
    gg0

    Re : primitives

    Momo54500,

    j'ai été un peu sec, car tu ne disais rien de ce que tu aurais fait. Maintenant, je vais être encore plus sec : "J ai pris u = racine carrée de (x*x^2)"
    Tu n'as rien de plus compliqué ? de plus loin de l'intégrale à calculer ?

    Et en relisant le cours, sérieusement, tu n'as rien trouvé sur ce sujet ?

    Bon, sois un peu sérieux, tu ne peux espérer que faire un peu n'importe quoi comme changement de variable te permette de calculer. En plus, il n'y a aucune raison que x*x², ou, plus proche de ta primitive, x + x² soit un carré, donc tu ne veux pas vraiment réussir.

    Dans ton cours, on explique sans doute comment parvenir à une forme 1+u², ce qui ne se fait pas n'importe comment, mais en utilisant une technique du lycée, la forme canonique du trinôme :

    puis en agissant intelligemment. Dans le cas de tes deux primitives à trouver, ça vient très facilement, plus facilement d'ailleurs pour la dernière, car x²+2x+2 est quasiment un carré parfait.

    Bon travail !

  9. #8
    Momo54500

    Re : primitives

    BOnsoir à tous

    J ai pris x2+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4

    Mais ensuite on doit factoriser en mettant en facteur 3/4

    Je trouve 3/4( 1+ 4/3(x+1/2)^2)

    C est bien ca ?

    Puis u= 2/racine(3) * (x+1/2)

    C est bien ?

  10. #9
    gg0

    Re : primitives

    Oui, c'est la méthode classique.

    Pour x²+2x+2 ce sera plus simple, mais il faut voir dans ton cours ce qu'on fait quand le numérateur comporte des x.

    Bon travail !

  11. #10
    Momo54500

    Re : primitives

    Bonsoir

    Je viens de terminer et je viens de trouver le résultat suivant :

    2racine3/3 x arctan(2racine3/3 (x+1/2))

    C est bien ca?

    Parce que la calculatrice trouve 2x+1 à la place de x+1/2

  12. #11
    gg0

    Re : primitives

    "2racine3/3 x arctan(2racine3/3 (x+1/2))"

    Pourquoi ce x ?
    D'autre part, le 2 dans l'arctan fois (x+1/2), ça donne quoi ?

  13. #12
    Momo54500

    Re : primitives

    Pour la deuxième elle était pus simple
    J ai fait une IPP et j ai trouvé
    ln(x2+2x+2)/2 - arctan(x+1)

    Normalement c est bon

    Y a une troisième intégrale qui est :
    (x^2 + 1)/(2+2x+x2)

    Mais la par contre pour trouver l intégrale de x2/2+2x+x2
    Je bloque vraiment

    Si quelqu un peut m'aider ce serait parfait merci à vous

  14. #13
    Momo54500

    Re : primitives

    Ce n est pas un x mais une multiplication
    Je n ai pas bien compris votre question

  15. #14
    Momo54500

    Re : primitives

    Quand j écris "x2" c est x au carré

  16. #15
    Momo54500

    Re : primitives

    Ah si c bon je viens de comprendre pour votre question lol désolé
    Il reste plus que la troisième intégrale avec laquelle je bloque

  17. #16
    gg0

    Re : primitives

    Pour la troisième intégrale, reviens au début du cours d'intégration des fractions rationnelles :
    Première étape : décomposer en éléments simples.

    Bon travail !

    NB : En général, quand on ne voit pas comment faire, on relit le cours.
    NBB : "Quand j écris "x2" c est x au carré " Pourquoi ne pas écrire x². ici, tu peux mettre des exposants. Et pourquoi c est à la place de c'est. Même sur mon téléphone de base, il y a les apostrophes.
    Dernière modification par gg0 ; 12/01/2018 à 19h50.

  18. #17
    Momo54500

    Re : primitives

    Bonsoir

    oui on fait intégrale de x²/(2+2x+x²) + intégrale de 1/2+2x+x²

    Intégrale de 1/2+2x+x² vaut arctan(x+1)

    mais c'est pour x²/(2+2x+x²) que j'ai un peu de mal

    voilà ce que j'ai fait :

    intégrale de x * x/(2+2x+x²)

    et je me retrouve avec intégrale de ln(2+2x+x²)

    et ça je sais pas comment calculer des intégrales de type ln(u)

    merci à vous.

  19. #18
    gg0

    Re : primitives

    Non,

    la méthode du cours est de diviser le numérateur quand il est de degré au moins égal à celui du dénominateur. Dans ton cas c'est simple :


    Cordialement.

  20. #19
    fartassette

    Re : primitives

    Bonjour,


    pour la dernière tu peux aussi faire comme cela:






    On reconnait différentes formes ....

    bon courage

  21. #20
    fartassette

    Re : primitives

    Citation Envoyé par Momo54500 Voir le message
    Bonsoir

    Je viens de terminer et je viens de trouver le résultat suivant :

    2racine3/3 x arctan(2racine3/3 (x+1/2))

    C est bien ca?

    Parce que la calculatrice trouve 2x+1 à la place de x+1/2
    oui mais sa se simplifie( ne pas oublier la constante )


  22. #21
    ansset

    Re : primitives

    Citation Envoyé par Momo54500 Voir le message
    Y a une troisième intégrale qui est :
    (x^2 + 1)/(2+2x+x2)
    celle ci peut se déduire des deux premières
    1)
    primitive de 1/(1+x+x²)
    2) primitive de x/(2+2x+x²)
    car
    x^2+1=(2+2x+x^2)-1-2x
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  23. #22
    fartassette

    Re : primitives

    Citation Envoyé par Momo54500 Voir le message
    Pour la deuxième elle était pus simple
    J ai fait une IPP et j ai trouvé
    ln(x2+2x+2)/2 - arctan(x+1) ne pas oublier la valeur absolue

    Normalement c est bon
    une idée sans faire d'IPP.





  24. #23
    ansset

    Re : primitives

    remarque ici, cela ne pose aucun soucis car le polynôme est tj strictement positif.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #24
    Momo54500

    Re : primitives

    Okay je vous remercie.

    J'ai réussi à faire l'intégrale.

    Merci à vous.

  26. #25
    ansset

    Re : primitives

    quelle méthode as tu prise, celle proposée par gg0 ou la mienne?
    d'ailleurs, il est tj intéressant de voir qu'on peut souvent approcher un pb de plusieurs manières diff.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  27. #26
    Momo54500

    Re : primitives

    Bonjour et merci à vous pour vos réponses:

    Pour la dernière j'ai trouvé comme résultat :

    -ln(x²+2x+2)+arctan(x+1)+x+K

    C'est bon?

  28. #27
    Momo54500

    Re : primitives

    oui c'est vrai

    J'ai pris celle de gg0 qui m'a paru plus simple car elle semblait plus rapide .

  29. #28
    gg0

    Re : primitives

    En fait, ici, ce n'était pas la plus rapide, mais c'est la méthode générale, à connaître. En voyant que 2x+1=2x+2 - 1, on se ramène à une intégrale déjà vue.

    Cordialement

    Rappel de la méthode :
    * Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, on divise, et on a un polynôme (facile à intégrer) plus une fraction "élémentaire"
    * face à une fraction élémentaire, on vérifier rapidement qu'elle n'est pas de la forme U'/U à un coefficient près (intégration immédiate), et sinon, on factorise le dénominateur (*) et on décompose en éléments simples.


    (*) c'est ce qu'on ne sait pas toujours faire.

  30. #29
    Momo54500

    Re : primitives

    Okay je vous remercie.

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