Densité et convergence

[cheezburger]

Bonsoir,

Il y a un point que je ne comprends pas sur un exercice : on dit que Q est dense dans R alors il existe une suite (x[n]) de Q qui converge vers un réel x.

Je ne vois pas quel théorème on utilise pour conclure cela.

Ma réflexion est que si Q est dense dans R, entre deux réels on pourra toujours trouver un rationnel donc entre 2 réels quelquonques, on pourra toujours construire une suite de rationnels bornée je pense.
Et d'après le théorème de Bolzano Weierstrass, toute suite bornée admet une sous-suite convergente. Donc on pourra trouver une sous suite de nombres rationnels qui convergera, mais rien ne dit qu'elle convergera vers un réel..

Merci à ceux qui pourront m'aider : )
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[gg0]

Heu ... une suite de rationnels est une suite de réels. Si elle a une limite, cette limite est un réel.

Mais dans la preuve, on part de x, et on construit facilement une suite de rationnels qui converge vers cet x. C'est fini.
Il est même possible de la construire algorithmiquement, par exemple d'obtenir la suite des approximations décimales à 10^(-n) près de x.

Cordialement.

[cheezburger]

Pardon je voulais plutôt dire vers x.

Merci mais dans votre explication, je ne vois pas en quoi vous utilisez la densité de Q. (ou de R\Q)

"Q (ou R\Q) sont denses dans R donc il existe une suite d'éléments de Q (ou de R\Q) qui converge vers un réel x." C'est ça que je ne comprends pas : le lien densité implique convergence. (Je précise que je suis au niveau sup...)

[Médiat]

Bonsoir,

Une des constructions des réels consiste à "fabriquer" les limites des suites de Cauchy rationnelles convergentes (qui donne les rationnels, on n'a rien gagné) ou non (dans Q)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

C'est justement la densité qui permet de construire très rapidement des suites. Pour les approximations décimales, c'est la densité des décimaux.

Je reprends la preuve rapide : Soit x un réel (rationnel ou pas). Pour tout entier n, l'intervalle ]x-1/n,x+1/n[ contient au moins un rationnel; Soit x_n ce (ou l'un de ces) rationnels. La suite (x_n)_n converge vers x.
C'est tout !

[cheezburger]

Merci gg0, j'ai bien compris avec votre intervalle ]x-1/n,x+1/n[, associé au théorème d'encadrement des limites résout ma question.

C'est l'explication qu'il me fallait ; )