calcul du DL de sin x / rac( exp( sin^2(x) )

[grandbennet]

Bonjour, j'aimerais calculer le DL d'ordre 2 de cette expression : f(x) = sin (x) / rac(exp(sin^2 (x) ) )
Sans réaliser les simplifications rac( exp u ) = exp u/2 et 1/exp u = exp -u (je m'entraine, je ne cherche pas à faire le plus vite et le plus efficacement)
comment faire ce calcul proprement?

j'ai écrit :

sin x = x + o(x^2)
sin (x) ^2 = x^2 + o(x^3)
exp sin x^2 = exp (x^2 + o(x^3) ) = x^2 + o(x^3)
je factorise par x^2.

rac ( x^2 ( 1 + o(x) ) ) = x * ( 1 + o(x) ) ???

et ensuite je ne sais pas trop quoi en faire. J'ai déjà l'impression que c'est faux. Sinon on pourra faire la combinaison du DL en haut du sin x par le produit du DL de 1/(1+u) avec u = x+o(x^2) mais je ne suis pas convaincu.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

exp sin x^2 = exp (x^2 + o(x^3) ) = x^2 + o(x^3)

exp(u) = 1+u+o(u) …

[grandbennet]

certes. Merci.

Donc le dénominateur donne 1+x^2/2 + o(x^3)

et ensuite ?

1/(1+u) = 1-u+u^2 + o(u^2)

donc on peut écrire que le dénominateur à un DL = 1 - x^2/2 + o(x^3).

C'est juste?

[invite57a1e779]

Ne pas oublier la racine carrée…

[A voir en vidéo sur Futura]

[grandbennet]

j'ai inclue la racine dans mes calculs... d'où le facteur 1/2

[invite57a1e779]

Alors tout va bien.

[grandbennet]

mais donc la méthode et les calculs sont bons? je ne suis pas convaincu

[invite57a1e779]

je ne suis pas convaincu

Qu'est-ce qui te gênes ? Tu as la bonne méthode, tu as rectifié ton erreur de DL et mon erreur de lecture…