Démontrer qu'une suite est bornée

[Perxyd]

Bonjour, je n'y suis pas obligé mais j'aimerais vraiment comprendre la démonstration de mon professeur mais j'ai beaucoup de mal... Je mets en italique ce que je comprends pas à pas, si vous pouvez m'aider à voir si je raisonne juste. J'ai essayé de le rendre le plus lisible possible.

Soit Un une suite qui converge et l la limite.
Soit n0 tel que n ≥ n0 Donc on considère qu'il y a toutes les termes de la suite à partir d'un certain rang n0
l-1 < Un < l+1
|Un| ≤ |l|+1 Jusqu'ici ça va

Soit Vn = U_n+n0. On a montré que pour tout n naturel, |Vn| < |l| +1 Là je ne comprends pas vraiment ce qu'on a montré via Vn...
La suite Vn est donc majorée.

Et c'est à ce moment là que j'ai vraiment besoin d'éclaircissements
Exemple : l = 1
Supposons n0 = 1. Donc la suite converge vers 1 et on suppose que le rang au delà duquel il y a toutes les termes de la suite est 1
On sait que n ≥ 1 implique |U0| ≥ 2 ok
Soit M = |U0| +2 Pourquoi avoir pris ce M ??

A partir de là, je ne comprends plus du tout
Alors pour tout n naturel, |Un| ≤ M
n ≥ 2 : |Un| ≤ 2 ≤ M
n = 0 : |Un| = |U0| ≤ M

On pose M = |l| + 1 + |U0| + ... + |Un₀|
alors pour tout n >= n0, |Un| <= M
n = 0 |Un| ≤ M
Pour tout n ≤ n0, |Un| ≤ M
Donc pour tout n, |Un| ≤ M
-----

[Aldaron]

Bonsoir,

Si je comprend bien ta question tu veux comprendre pourquoi toute suite convergente est bornée ?

Avec ta suite Vn tu sais qu'elle est bornée, puisque Vn = U_n+n0 et que pour tout n=>n0 alors Un est bornée

Mais ce que tu peux aussi dire c'est que les n0 premiers termes de ta suite Un sont en nombres finis donc ils forment un ensemble borné.

Du coup la suite (Un) est la réunion de deux ensembles bornés donc la suite est bornée


D'où ton Un <=M

J'espère que j'ai pu t'aider.

Concernant Le choix de M par ton prof je ne suis pas sur de bien comprendre malheureusement

[eudea-panjclinne]

Soit Un une suite qui converge et l la limite.
Soit n0 tel que n ≥ n0 Donc on considère qu'il y a toutes les termes de la suite à partir d'un certain rang n0
l-1 < Un < l+1
|Un| ≤ |l|+1 Jusqu'ici ça va

Je vais dire la même chose qu'Aldaron, mais d'une autre façon.
Un<l+1 pour les termes d'indices >n0, mais peut-on dire que u(n)<l+1 pour les termes d'indices plus petits que n0. On n'en sait rien !
Il faut dont prendre un majorant M plus grand que l+1 et qui soit, aussi et à coup sûr plus grand que chacun des terme u(0), u(1), ... u(n0-1).
C'est réalisé en prenant M=l+1+|u(0)|+...|u(n0-1)|, bien sûr, M n'est pas optimal, il est vraisemblablement trop grand mais cela n'a pas d'importance puisque ce que nous cherchons c'est un majorant.