[1ère S] Démontrer que la fonction est bornée

[invite7ff94e31]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice à faire : je dois démontrer que la fonction f est bornée sur R

f(x) = 1 / x²+1

Je ne sais pas du tout ce que je dois faire...

Merci d'avance pour votre aide !
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[invite79d10163]

Bonjour,

Le mot "borné" signifie que tu dois trouvé des nombres réels a et b tel que a <= f(x) <= b pour x dans R. On appelle ces nombres respectivement un minorant et un majorant de f.

[invite7ff94e31]

Merci d'avoir répondu,

Et comment fait-on pour trouver ces réels a et b ?

[ansset]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice à faire : je dois démontrer que la fonction f est bornée sur R

f(x) = 1 / x²+1

Je ne sais pas du tout ce que je dois faire...

Merci d'avance pour votre aide !

je suppose qu'il s'agit de 1/(x²+1) et non 1/x² +1
parceque la seconde n'est pas bornée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ff94e31]

Oui c'est bien 1/(x²+1) !

[invite79d10163]

Bon, tu peux commencer par étudier ces variations, c'est à dire calculer le signe de sa dérivée. tu trouveras alors les intervalles ou cette fonction est croissante ou décroissante ; tu pourras alors conclure sur l'existence d'une borne inférieure ou supérieure.

Par exemple, tu peux déjà remarquer que x^2 est strictement positif. Je te laisse conclure pour 1/(x^2+1)....

Grâce à l'étude du signe de sa dérivée, tu devrais trouver le reste.

[invite7ff94e31]

L'étude du signe de sa dérivée ? Je ne l'ai pas vu en cours et je ne sais pas encore étudier les variations sans qu'on me donne les intervalles =S

[invite0613a860]

Bonjour,

Borner une fonction revient à trouver le domaine dans lequel la fonction s'applique. Cette question est fréquente lorsqu'il y a une division dans la définition de la fonction, tout simplement parce que l'on ne peut pas diviser pas 0. Ce qui veut dire que 1/x est définit sur {R-0}, ou R*.
Dans ton cas, tu poses Y=x²+1. Ta fonction devient 1/Y, donc tu sais que Y doit être différent de 0...
Je te laisse trouver la réponse.

Bon courage

[invite7ff94e31]

Je dois démontrer qu'elle est bornée sur R,
c'est qu'elle n'est pas définie sur R -{0}...
x² + & différent de 1 donne x² différent de -1. Or un carré ne peut pas être négatif, donc il n'y a pas de valeur interdite.

[invite0613a860]

Autant pour moi, j'ai confondu borne et ensemble de définition.
Skydancer donne une bonne solution.
Voilà la déf. de borner une fonction:

Soit f:E->R une fonction.

* f est majorée si f(x)< (ou =) M pour tout E de U. On dit alors que M est un majorant de f.
* f est minorée si f(x)> (ou =) m pour tout E de U. On dit alors que m est un minorant de f.
* f est bornée si f est minorée et majorée.

[invite7ff94e31]

J'ai bien compris ce qu'était une fonction bornée, ma question est plutôt de savoir comment on le démontre quand on a une expression algébrique.

Merci, pour vos réponses.

[invite0613a860]

Tu as x appartenant à R
soit x²> (ou =) 0
tu continues dans ce sens

[invite79d10163]

Ok... je t'ai déjà unpeu aidé pour f(x) >=....

Il ne reste plus qu'à trouver un majorant. Par éxemple que peut tu dire de x^2 + 1 ? cette expression est toujours supérieure à ....
Donc 1 / x^2 + 1 es toujours inférieure à ....

[invite7ff94e31]

1 > 0 et x²+1 > 0 donc 1 / (x²+1) > 0 non ?

[invite79d10163]

oui c'est bien. Tu as trouvé un minorant. Il ne te reste plus qu'à trouver un majorant. Je t'aide : x^2 >= 0 , x^2 + 1 >= 1 donc 1/(x^2+1) ....

[invite0613a860]

x²+1 >= 0 donc 1 / (x²+1) > 0
c'est exact, tu as ton minorant.
Mais tu peux être plus précis avec x²+1.
Si x²>=0, alors x²+1>=?, soit 0<1(x²+1)<=1/?

[invite7ff94e31]

x² >= 0
x² +1 >= 1
1/ (x²+1) <= 1 (car la fonction inverse est décroissante sur R)

D'où : 0 < 1/(x²+1) <= 1

C'est bien ça ?

[invite79d10163]

c'est bien ça !

[invite7ff94e31]

D'accord, merci beaucoup !!
Je vais essayer de faire les autres seule ^^

[invite79f94cd7]

qlq soit x de R x²>=0 => x²+1>=1
=>0 =<1/(x²+1)=<1

=> 0=<f(x)<=1

alors f est borné

[invited742d238]

1/ (x²+1) <= 1 (car la fonction inverse est décroissante sur R)
C'est bien ça ?

fais attention a ce que tu écris car c'est faux et je suis pas sur que ça passe dans une copie... La fonction inverse est décroissante sur R*+ et sur R*- mais pas sur R. Je sais que c'est pas marrant et que c'est du chipottage, mais mieux vaut ne pas écrire de choses fausses, ça fait toujours mieux et ça permet d'éviter des erreurs dans certains cas...

[inviteeeb4172d]

Pas la peine d'utiliser les variations :
(x^2>=0)implique (x^2+1>=1)implique 0<=(1/(x^2+1))<=1
Donc f est bornée

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pas la peine d'utiliser les variations :

Quand tu écris ce "implique" ci-dessous,

(x^2>=0)implique (x^2+1>=1)implique 0<=(1/(x^2+1))<=1

... tu utilises bien la stricte décroissance de la fonction inverse sur .


Cordialement

[gerald_83]

Bonsoir,

Beau déterrage d'une conversation qui date de février 2011

[invite39a21a76]

Et ce qui concerne x/(x^2 + 1)
Comment montrer que |f| est majorée par 1/2

[ansset]

faire un tableau de variation !