Salut,
j'ai une fonction définie sur R qui peut s'écrire de trois façons:
Je dois démontrer que f est impaire.
Pour chacune des formes j'ai essayé de partir de f(-x) pour arriver à -f(x), sans succès.
J'ai alors essayé de calculer f(-x) pour -f(x) pour voir si j'arrivais à la même chose, mais toujours pas.
Alors j'ai essayé de calculer f(-x)+f(x) mais j'arrive jamais à zéro...
Y a-t-il une astuce?
Merci.
Avec la première, en multipliant le numérateur et le dénominateur apparaissant dans la forme f(-x) par exp(-x), ça marche tout seul normalement...Pour chacune des formes j'ai essayé de partir de f(-x) pour arriver à -f(x), sans succès.
Salut,
si en calculant f(-x) tu n'arrives pas à trouver - f(x) ou en calculant -f(x) tu ne trouves pas f(-x), tu peux aussi (de manière générale pas que pour cet exo) calculer f(-x) - (-f(x)) = f(-x)+f(x) et voir que ça fait 0.
En général, en partant de ça, en faisant tous les calculs possibles... On y arrive
Romain
J'obtiensEnvoyé par deep_turtle
Avec la première, en multipliant le numérateur et le dénominateur apparaissant dans la forme f(-x) par exp(-x), ça marche tout seul normalement...
Donc je suis un peu bloqué...
Oui j'ai aussi dit que j'avais essayé pour les trois formes, mais j'y arrive pas non plus.Salut,
si en calculant f(-x) tu n'arrives pas à trouver - f(x) ou en calculant -f(x) tu ne trouves pas f(-x), tu peux aussi (de manière générale pas que pour cet exo) calculer f(-x) - (-f(x)) = f(-x)+f(x) et voir que ça fait 0.
En général, en partant de ça, en faisant tous les calculs possibles... On y arrive
f(-x) + f(x) = (1-exp(-x))/(1+exp(-x)) + (1-exp(x))/(1+exp(x))
donc
f(-x) + f(x) = [(1-exp(-x))(1+exp(x)) + (1-exp(x))(1+exp(-x))] / (...)
d'où f(-x) + f(x) = 0 (en développant)
EDIT :
avec la forme que tu as, tu peux factoriser par exp(-x)...
alors, au cas où la réponse de Romain des bois ne te conviendrais pas, je te dis ce que je ferais :
Tu commences par réduire la première expression de f(x) c'est à dire que tu mets -(1+e^x) au lieu de 1-e^x. Grâce à ça, tu peux barrer le (1+e^x) au numérateur et au dénominateur, et il te reste comme ça -1/1 soit -1
Donc ça te donne f(x) = x-1
Par contre, là il y a un problème! Parce que f(-x) n'est ps égal à -f(x) ... Et pourtant je ne vois pas où ma démarche pourrait être fausse... Tu es sûr que tu as bien recopier l'énoncé?
PS : Si tu réussis, n'oublies pas que : Pour que f soit impaire, il faut que son ensemble de définition soit symétrique par rapport à zéro.
Merci Romain-des-Bois, ça marche.
Par contre si je factorise par exp(-x) j'obtiens -x+(1-exp(-x))/(1+exp(-x))
Oui j'ai pas oublié de dire que le domaine était symétrique par rapport à zéro.
Oups, dans mon message d'avant il fallait lire "multiplier par exp(x)" et non exp(-x)...
Ah, ça marche tout de suite mieux et c'est super rapide, merci.
