Démontrer que cette fonction est impaire.
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Démontrer que cette fonction est impaire.



  1. #1
    neokiller007

    Démontrer que cette fonction est impaire.


    ------

    Salut,

    j'ai une fonction définie sur R qui peut s'écrire de trois façons:




    Je dois démontrer que f est impaire.
    Pour chacune des formes j'ai essayé de partir de f(-x) pour arriver à -f(x), sans succès.
    J'ai alors essayé de calculer f(-x) pour -f(x) pour voir si j'arrivais à la même chose, mais toujours pas.
    Alors j'ai essayé de calculer f(-x)+f(x) mais j'arrive jamais à zéro...

    Y a-t-il une astuce?

    Merci.

    -----

  2. #2
    deep_turtle

    Re : Démontrer que cette fonction est impaire.

    Pour chacune des formes j'ai essayé de partir de f(-x) pour arriver à -f(x), sans succès.
    Avec la première, en multipliant le numérateur et le dénominateur apparaissant dans la forme f(-x) par exp(-x), ça marche tout seul normalement...
    « D'avoir rejeté le néant, j'ai découvert le vide» -- Yves Klein

  3. #3
    Romain-des-Bois

    Re : Démontrer que cette fonction est impaire.

    Salut,

    si en calculant f(-x) tu n'arrives pas à trouver - f(x) ou en calculant -f(x) tu ne trouves pas f(-x), tu peux aussi (de manière générale pas que pour cet exo) calculer f(-x) - (-f(x)) = f(-x)+f(x) et voir que ça fait 0.

    En général, en partant de ça, en faisant tous les calculs possibles... On y arrive


    Romain

  4. #4
    neokiller007

    Re : Démontrer que cette fonction est impaire.

    Citation Envoyé par deep_turtle Voir le message
    Avec la première, en multipliant le numérateur et le dénominateur apparaissant dans la forme f(-x) par exp(-x), ça marche tout seul normalement...
    J'obtiens
    Donc je suis un peu bloqué...
    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Salut,

    si en calculant f(-x) tu n'arrives pas à trouver - f(x) ou en calculant -f(x) tu ne trouves pas f(-x), tu peux aussi (de manière générale pas que pour cet exo) calculer f(-x) - (-f(x)) = f(-x)+f(x) et voir que ça fait 0.

    En général, en partant de ça, en faisant tous les calculs possibles... On y arrive
    Oui j'ai aussi dit que j'avais essayé pour les trois formes, mais j'y arrive pas non plus.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Romain-des-Bois

    Re : Démontrer que cette fonction est impaire.

    f(-x) + f(x) = (1-exp(-x))/(1+exp(-x)) + (1-exp(x))/(1+exp(x))
    donc
    f(-x) + f(x) = [(1-exp(-x))(1+exp(x)) + (1-exp(x))(1+exp(-x))] / (...)

    d'où f(-x) + f(x) = 0 (en développant)



    EDIT :
    avec la forme que tu as, tu peux factoriser par exp(-x)...

  7. #6
    invitec0ac5d23

    Re : Démontrer que cette fonction est impaire.

    alors, au cas où la réponse de Romain des bois ne te conviendrais pas, je te dis ce que je ferais :
    Tu commences par réduire la première expression de f(x) c'est à dire que tu mets -(1+e^x) au lieu de 1-e^x. Grâce à ça, tu peux barrer le (1+e^x) au numérateur et au dénominateur, et il te reste comme ça -1/1 soit -1
    Donc ça te donne f(x) = x-1

    Par contre, là il y a un problème! Parce que f(-x) n'est ps égal à -f(x) ... Et pourtant je ne vois pas où ma démarche pourrait être fausse... Tu es sûr que tu as bien recopier l'énoncé?

  8. #7
    invitec0ac5d23

    Re : Démontrer que cette fonction est impaire.

    PS : Si tu réussis, n'oublies pas que : Pour que f soit impaire, il faut que son ensemble de définition soit symétrique par rapport à zéro.

  9. #8
    neokiller007

    Re : Démontrer que cette fonction est impaire.

    Merci Romain-des-Bois, ça marche.
    Par contre si je factorise par exp(-x) j'obtiens -x+(1-exp(-x))/(1+exp(-x))

    Oui j'ai pas oublié de dire que le domaine était symétrique par rapport à zéro.

  10. #9
    deep_turtle

    Re : Démontrer que cette fonction est impaire.

    Oups, dans mon message d'avant il fallait lire "multiplier par exp(x)" et non exp(-x)...
    « D'avoir rejeté le néant, j'ai découvert le vide» -- Yves Klein

  11. #10
    neokiller007

    Re : Démontrer que cette fonction est impaire.

    Ah, ça marche tout de suite mieux et c'est super rapide, merci.

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