Base orthonormée

**MidoXSan** · 07/02/2018, 22h27

Bonsoir,

En fait je ne comprend pas pourquoi $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ est une caractéristique des bases orthonormées. Merci !

**MidoXSan** · 07/02/2018, 23h00

Pardon, c'est le vecteur f qui est égal à la somme ...

**mach3** · 08/02/2018, 06h37

En décomposant l'expression, on voit que sa validité tient au fait que le produit scalaire d'un vecteur de base par lui-même doit valoir 1 et que le produit scalaire d'un vecteur de base par un autre doit valoir 0, ce qui est caractéristique d'une base orthonormée. Bon je crois que c'est nécessaire mais pas suffisant, mais ça permet de démarrer.

m@ch3

**gg0** · 08/02/2018, 08h29

Bonjour MidoXSan.

Ce que tu écris dans ton premier message est trop flou, mal quantifié parce que on ne sait pas qui sont les $\text{[math]}$ et les $\text{[math]}$ . Ni même qui est $\text{[math]}$ .
Sous la forme :
$\text{[math]}$ est un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ muni d'un produit scalaire <.,.> et $\text{[math]}$ est une famille d'éléments de E, alors les $\text{[math]}$ forment une base orthonormée si et seulement si:
$\text{[math]}$ (1)
pas de problème.

On sait que si les $\text{[math]}$ forment une base orthonormée, la propriété 1 est vraie. Pour la réciproque, on remarque que les $\text{[math]}$ forment une famille génératrice de dimension $\text{[math]}$ , donc une base, et en prenant pour f successivement chacun des [TEX]e_k[/TEX, on prouve que cette base est orthonormée.

Si tu veux évoquer une autre propriété, à toi de l'écrire complétement.

Cordialement.

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**ansset** · 08/02/2018, 09h12

devenu inutile : paraphrase indirecte du mess précédent.

**MidoXSan** · 08/02/2018, 18h09

Ah excusez-moi, j'ai écris mon expression à la va vite. Mais j'ai compris, merci beaucoup !

Base orthonormée