Définition Injectivité, non compréhension de la formule

[Loosgin]

Bonjour,

J'ai compris le sens disons-le, littéral de l'injectivité : Le nombre d'antécédent des éléments de F atteint pas l'application f ( application de E->F ) est inférieur ou égal à 1.

En revanche, en m'appuyant seulement sur la définition formelle de l'injectivité, je n'arrive pas à retrouver sa signification :

Pour tout x,x' appartenant à E, f(x) = f(x') => x=x' .

Je n'arrive pas à lier cette relation avec la définition littérale.
En effet, cette définition dit que si l'image de x par l'application f est égale à l'image de x' par l'application f, cela implique que x = x'. Or plusieurs antécédents peuvent donner la même image.

Si vous pouvez me lever cette incertitude, je vous remercie par avance.
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[Anonyme007]

Bonsoir,

Sauf erreur de ma part :

De manière rigoureuse :


équivaut à :

qui équivaut à son tour à :

qui équivaut à son tour à :

qui équivaut à son tour à :


Cordialement.

[PlaneteF]

Bonsoir,

J'ai compris le sens disons-le, littéral de l'injectivité : Le nombre d'antécédent des éléments de F atteint pas l'application f ( application de E->F ) est inférieur ou égal à 1.

En revanche, en m'appuyant seulement sur la définition formelle de l'injectivité, je n'arrive pas à retrouver sa signification :

Pour tout x,x' appartenant à E, f(x) = f(x') => x=x' .

Ben raisonne par l'absurde et tu retrouves la signification instantanément

Cordialement

[Anonyme007]

Bonjour,

Peux être que je n'étais pas claire au début. Voici la suite :

Par exemple dans le sens direct :

Supposons que tout a au plus un antécédent dans .
- Si a un antécédent , alors :
et puisque : , alors :
On aboutit ainsi au résultat
- Si n'est antécédent d'aucun élément de , alors :. Or, , ( car par hypothèse, tout élément a un antécédent ), donc :
D'où le résultat.

Maintenant pour le sens contraire :

Supposons que :
Supposons par absurde qu'il existe tel que : a plus qu'un antécédent, alors pour dans , alors : ( Absurde )
Par conséquent : tout a au plus un antécédent dans .
D'où le résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Le nombre d'antécédent des éléments de F atteint pas l'application f ( application de E->F ) est inférieur ou égal à 1.

[…]

Or plusieurs antécédents peuvent donner la même image.

Bonjour,

Plusieurs antécédents ne peuvent pas donner la même image puisque le nombre d'antécédents est inférieur ou égal à 1 !

Si x et x' sont antécédents de la même image, i. e. si f(x)=f(x'), il ne peuvent être « plusieurs » antécédents de cette image, c'est en fait le même antécédent sous deux pseudonymes différents : x=x'.

[minushabens]

Pour tout x,x' appartenant à E, f(x) = f(x') => x=x' .

Je n'arrive pas à lier cette relation avec la définition littérale.

la contraposée te paraîtra peut-être plus naturelle: si x est différent de x' alors f(x) est différent de f(x')

[Loosgin]

Supposons que :
Supposons par absurde qu'il existe tel que : a plus qu'un antécédent, alors pour dans , alors : ( Absurde )
Par conséquent : tout a au plus un antécédent dans .
D'où le résultat.

Ton raisonnement par l'absurbe a répondu à ma question, merci Anonyme007 ! (quoique, je trouve toujours la plupart des raisonnements par l'absurde tirés par les cheveux )
D'autre part, j'ai remarqué que chaque formule est précédée d'une phrase comme :
-"Supposons que Y tout a au plus un antécédent dans ";
-"Si Y n'est antécédent d'aucun élément de E".
J'en déduis que la phrase qui précède la formule est implicitement écrite dans celle-là ?

A Minushaben, je ne suis pas formé à la logique mathématique, j'ai encore du mal à cerner les différences entre un raisonnement par contraposée et par l'absurde...

A God's Breath, je suis d'accord avec toi ! Sauf que, l'égalité n'est montré qu'après l'implication : rien ne m'interdit d'écrire f(x)=f(x') => x != x', non ?

[gg0]

Bonjour Loosgin.

Raisonnement par contraposition : De A ==> B on infère (déduit) que non B ==> non A.
Raisonnement par l'absurde (classique) Pour prouver A, on suppose non A et on en déduit une propriété fausse. Pour les logiciens, c'est plutôt on suppose non A et on en déduit A.

Cordialement

[minushabens]

A Minushaben, je ne suis pas formé à la logique mathématique, j'ai encore du mal à cerner les différences entre un raisonnement par contraposée et par l'absurde...

c'est un peu le B - A - BA des mathématiques. Ca vaut le coup de prendre un peu de temps pour assimiler quelques notions élémentaires de logique.

[God's Breath]

Sauf que, l'égalité n'est montré qu'après l'implication : rien ne m'interdit d'écrire f(x)=f(x') => x != x', non ?

Je ne comprends pas ce que veut dire « l'égalité n'est montrée qu'après l'implication » : une implication ne peut pas vivre seule, sans un antécédent et un conséquent.
L'expression est une proposition correctement formulée, alors que , , ne sont pas syntaxiquement correctes.

La proposition mathématique est l'écriture formalisée de « si f(x) et f(x') sont égaux, alors x et x' sont égaux », qui signifie : «si x et x' sont deux antécédents d'une même image (non nommée explicitement), alors x et x' ne font qu'un », c'est-à-dire l'expression de l'injectivité, sans raisonnement par l'absurde ni par contraposition.

[Loosgin]

Merci God's Breath ! Je n'avais pas bien saisi le principe de l'implication d'où mon non compréhension. Grâce à ton explication, j'arrive maintenant à lier cette formule avec la notion d'injectivité; Merci encore!

Minushaben, je ne peux être que d'accord avec toi ! Je saisis très bien l'importance de ces outils de base qui permettent de démontrer des formules complexes ( comme vous dîtes, C'est la base du raisonnement mathématique). Cependant, pour pouvoir les manipuler correctement, cela demande énormément de pratique (et donc, du temps)... Enfin pour le commun des mortels, c-à-d quand on a un Qi =< 120.

Merci gg0, l'explication ne peut pas être plus synthétique. Je mets cette page en favoris. J'y reviendrai dessus quand je me serai libéré du temps.