règles de calculs dans (Z/nZ,+,x)

[invite24af8fe3]

salut à toutes et à tous



donc si j'ai bien compris les règles de calculs dans (Z/nZ,+,x) par exemple dans (Z/5Z,+,x) qui est un corps on a par exemple cl(2)+cl(3)=cl(2+3)=cl(5)=cl(0 ) car cl(2)=2+5k et cl(3)=3+5k donc cl(2)+cl(3)=2+5k+3+5k=5+10k=5( 1+2k) et donc cl(2)+cl(3)=5(1+2k)=cl(0) pour tout k dans Z de meme cl(3)+cl(4)=cl(3+4)=cl(7)=cl(2 ) car par raisonnement analogue cl(3)=3+5k cl(4)=4+5k et donc cl(3)+cl(4)=7+10k=5(1+2k)+2=cl (2) pour tout k dans Z


est ce correct ?


merci d'avance

cordialement
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[gg0]

Voir sur cet autre forum, où on t'a expliqué en quoi c'est mal rédigé.

[invite24af8fe3]

cl(2)={2+5k/k dans Z} cl(3)={3+5k'/ k' dans Z} donc cl(2)+cl(3)={5(k+k'+1)/ k+k' dans Z}=cl(5) =cl(0)

cl(4)={4+5k"/k" dans Z} donc cl(3) + cl(4)={5(k'+k"+1)+2/ k'+k" dans Z}=cl(7)=cl(2)


est ce que c'est mieux rédigé ainsi?

[invite9dc7b526]

pas vraiment. Ce que tu dois faire est définir une addition entre classes d'équivalences. Classiquement, on commence par montrer que si x et x' sont dans même classe (i.e. si n divise x-x'), et si y et y' sont dans la même classe, alors x+y et x'+y' sont dans la même classe. On peut donc définir l'addition entre classes en prenant des représentants arbitraires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite24af8fe3]

c'est pourtant ce que j'ai fais dans mon message précédent en considérant le corps (Z/5Z,+,x) sinon là je ne comprends pas

[invite9dc7b526]

non ce n'est pas ce que tu as fait. Tu aurais dû par exemple montrer que 2+3=7-2 [5] (que l'on prenne 2 ou 7 (resp. 3 ou -2) comme représentant de la classe on obtient le même résultat quand on les additionne.

[invite24af8fe3]

apparemment dans ce forum on me dit que c'est correct https://www.ilemaths.net/sujet-regle...tml#msg6815441

[invite9dc7b526]

Tu as écrit des choses correctes mais elles ne démontrent pas le fait que (Z/nZ,+,x) est un anneau. En fait elles ne démontrent rien du tout. Déjà, il faut travailler avec des valeurs non spécifiées (des "x" et des "y") et pas avec des exemples comme 2 et 3 (et 5).

[invite24af8fe3]

je n'ai pas voulu démontrer que (Z/5Z,+,x) était un anneau je voulais juste montrer que dans cet anneau (qui est un corps) que cl(2)+cl(3)=cl(5)=cl(0) et que cl(3)+cl(4)=cl(7)=cl(2)

[invite9dc7b526]

si tu veux, mais en principe si tu parles de cet anneau c'est que tu sais comment son addition est définie. Donc tu n'as pas à démontrer que 2+3=0 ni que 3+4=2.

[invite24af8fe3]

en tout cas merci

[gg0]

A priori, si on définit l'addition des classes par
cl(a)+cl(b) = cl(a+b)
Et que ça définit bien une addition (voir message #4), il n'y a plus qu'à démontrer que cl(5)=cl(0) et cl(7)=cl(2), ce qui est évident avec la définition des classes (deux éléments sont dans la même classe si leur différence est multiple de 5).

Donc soit tu connais la notion de classe modulo 5 et la définition de l'addition justifiée, et tu perds ton temps (il suffit d'écrire cl(2)+cl(3)=cl(5)=cl(0); tout est évident, pas besoin de justifier ce qui est élémentaire), soit tu n'as pas ces définitions, et tu perds ton temps : tu as oublié d'étudier ce dont tu parles !!

Désolé.

[invite24af8fe3]

donc si j'ai compris dans Z/5Z 3x2=1 et aussi 4+3=2 car dans le premier cas 6=1[5] et dans le second cas 7=2[5]

[gg0]

Ben ... tu n'as pas vu la définition des classes ?

Pourquoi demander si tu sais ?