Equations polynomiales et résolubilité

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Dans le premier paragraphe du lien suivant : http://www.les-mathematiques.net/b/b/i/node3.php , il est dit que :

Définition : On dit qu'un polynôme est résoluble par des radicaux si, et seulement si, les racines de dans un corps des racines peuvent être construites à partir des coefficients de en un nombre fini d'étapes faisant intervenir les quatre opérations élémentaires ,,, et l'extraction de racines - ième pour des entiers naturels appropriés .

Il découle de cette définition, qu'un polynôme est résoluble par des radicaux si, et seulement si, il existe des corps tels que , le polynôme est scindé dans et pour tout entier entre et , le corps est obtenu à partir du corps , par l'adjonction d'un élément qui vérifie pour un certain entiers positif .

Pouvez vous svp m'expliquez en détail pourquoi : les racines de dans un corps des racines peuvent être construites à partir des coefficients de en un nombre fini d'étapes faisant intervenir les quatre opérations élémentaires ,,, et l'extraction de racines - ième pour des entiers naturels appropriés si et seulement si il existe des corps tels que , le polynôme est scindé dans et pour tout entier entre et , le corps est obtenu à partir du corps , par l'adjonction d'un élément qui vérifie pour un certain entiers positif

Merci infiniment.
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[gg0]

Bonjour.

Comme les 4 opérations font qu'on reste dans un même corps K_i, tant qu'on n'a pas besoin d'une extraction de racine, on ne fait rien. Puis, lorsqu'il y a besoin d'une extraction et que ce n'est pas possible, on introduit cette racine et on a un surcorps K_i+1.

C'est tout !

[Anonyme007]

Oui, c'est vrai. Merci beaucoup gg0.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Sur le lien suivant : http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem...12/galois.html , plus précisément, dans le premier paragraphe de la démonstration du lemme de la page , on dit que : , pouvez vous s'il vous plaît m'expliquer pourquoi ?

Merci infiniment.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Pardon. Il s'agit du lien suivant : http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem...2012/corr2.pdf

[God's Breath]

Parce que :



du fait appartient à .

C'est comme si tu demandais pourquoi

[Anonyme007]

Merci Got's Breath.
svp, j'aimerais vous demander si les chercheurs en maths s’intéressent aussi au problème de factorisation de fonctions transcendantes en produit infini de facteurs linéaires de la forme . y'a-t-il une théorie de Galois pour ce type de fonctions transcendantes ( i.e : se factorise comme suit : ).
Par exemple, sur le lien suivant : http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf , page : , on propose la factorisation suivante :
.
Quelles sont les théories qui ont été conçu pour étudier ce genre de factorisation transcendante ?
Merci d'avance.

[God's Breath]

j'aimerais vous demander si les chercheurs en maths s’intéressent aussi …

Je ne sais pas, je n'ai plus de contact avec la recherche mathématiques depuis 1975…

Les problèmes de factorisation qui semblent t'intéresser me semblent relever plus de la théorie des fonctions analytiques que de la théorie de Galois.
Le résultat principal est le théorème de factorisation de Weierstrass ; il y a peut-être quelques bricoles à récupérer du côté des produits de Blaschke.

[azizovsky]

je confirme ce que God's Breath a dit, les produits infinis des fonctions entières ....(analyse complexe)

[Anonyme007]

Merci Got's Breath et azizovsky.
svp, j'ai une autre question mais une question en toute évidence un peu facile si on connait bien son cours de théorie de Galois et théorie des représentations :
Pourquoi l'action du groupe de Galois d'un polynôme qu'on note par sur le corps de ses racines peut être vue comme une représentation d'un groupe symétrique ?

Merci infiniment pour votre aide.

[God's Breath]

Je poserai plutôt la question dans le sens inverse : il suffit de relire le texte original de Galois pour voir qu'il ne parle que du groupe symétrique… et que le corps des racines n'est que secondaire.
Le point de vue a changé, mais pas la réalité mathématique.

[Anonyme007]

Merci Got's Breads.
Je sais que l'action du groupe de Galois sur qui est : s’identifie à la représentation : , néanmoins, pour appeler une représentation, il faut que soit un - espace vectoriel, et il l'est, car est une - algèbre fini par définition. Mais, j'ai du mal à comprendre pourquoi les éléments de sont des matrices. La base canonique de en tant que - espace vectoriel est la base avec : , non ? Si, on prend : le groupe symétrique d'ordre pourquoi alors, est une matrice de permutation si on tient compte de la base : ... D'accord, j'ai compris, parce que : avec : .

[Anonyme007]

Bonsoir,

Où je peux trouver des documents sur le net parlant de la définition d'un produit de Blaschke. Je n'arrive pas à en trouver un sur le net moi. Bizarre.

Merci d'avance.