Equations polynomiales

[invitee27a8b07]

Bonjour à tous,

J'ai presque honte de l'avouer, mais je bloque sur des exercices que je dois donner bientôt à mes élèves de première année MPSI. Difficile de se remettre là-dedans...

Il y a deux questions sur lesquelles je bloque :

1) Trouver les racines complexes de

Degré de P : n-1, OK. Si n est pair, on a une racine évidente qui permet de factoriser par X. On en conclut que P(X) peut s'écrire ou et qu'on aura des couples de complexes conjugués comme racines de P... Et ensuite, je ne trouve plus grand-chose. Un coup de pouce ?

2) Déterminer les polynômes P tels que

Celui-ci est un petit chef-d'œuvre. On ne peut pas déterminer à l'avance le degré de P, on ne peut pas trouver de valeurs de P "sûres et certaines" pour un X fixé, et le développement à partir d'une écriture donne un truc totalement horrible, à cause du produit et des qui apparaissent dans le terme de droite. Tout ce que j'arrive à dire pour le moment, c'est que deux polynômes constants sont solutions (0 et 1), et qu'un polynôme non constant solution de l'équation a forcément 1 pour coefficient dominant. Là encore, il doit forcément y avoir une astuce à voir... non ?

Merci d'avance pour l'aide que certains d'entre vous m'apporteront (tout du moins, je l'espère )
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[invitec336fcef]

bonjour,

pour la question 1), ne peut-on pas se servir de la formule : (X+1)ⁿ - (X-1)ⁿ =

EDIT : je viens de m'apercevoir qu'on avance guère en utilisant cette formule. A moins que j'ai raté quelque chose....

[invitee27a8b07]

J'ai déjà essayé cette technique, sans succès. Peut-être qu'on a été sottes toutes les deux

[invitee27a8b07]

Up ! (C'est si difficile que ça ? )

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Pour le premier ça n'est pas très compliqué :



Donc , la conclusion est alors rapide.

[invitee27a8b07]

Oh. Ben oui, tiens. *facepalm* C'est très simple, en fait. Il y a des jours, comme ça, où on se trouve naze...

[invitea07f6506]

Il est un peu tard pour que je résolve le deuxième exercice, mais bon... Supposons non nul. Si , alors toute racine de est racine de . Donc, si , alors , puis = 0, etc. En particulier, toute racine de est ou est une racine de l'unité (sinon, aurait une infinité de racines, donc serait nul). De même, toute racine de est racine de . Donc, si , alors , etc. Finalement, toute racine de est ou est une racine de l'unité plus . En faisant l'intersection des domaines obtenus, on obtient que l'ensemble des racines de est inclus dans . Or si était racine de , alors le serait aussi, ce qui est absurde. Finalement, toute racine de est ou .

On peut donc écrire , et la relation initiale devient , qui est satisfaite si et seulement si . Tout polynôme solution est donc ou bien le polynôme nul, ou bien un polynôme de la forme pour un certain entier naturel (éventuellement nul) .

En espérant que l'heure ne m'a pas fait faire d'erreur grossière.

[invitee27a8b07]

Superbe !

Merci à toi, cher frère d'un collègue de travail (true story, bro). C'est moi, ou il y a vraiment quelque chose d'insensé ou de sadique à donner un tel exercice à résoudre sans indication supplémentaire à des gens qui ont eu leur Bac S il y a quelques mois ?