Equations cartésiennes en R^3

[inviteafc2d3a1]

Salut à tous,

J'essaie de résoudre l'exercice: "Donnez une équation cartésienne du plan alpha passant par le point (1,-1,2) et parallèle au plan OYZ." Mais je bloque à la fin, je pense que l'équation cartésienne que j'obtiens n'est pas bon... Du coup, si quelqu'un pouvait me débloquer, cela serait hyper sympa !

Voilà ma résolution:

Si le plan alpha est parallèle au plan OYZ, cela signifie que la valeur du 'x' ne change pas, puisque dans le plan OYZ, x est invariable et vaut toujours 0. Dans ce cas-ci, x vaut donc toujours 0.

Nous pouvons prendre deux pts supplémentaires qui nous permettront de trouver une équation cartésienne:
(1,0,0) et (1,1,1) sont deux pts du plan alpha puisque x=1

On a donc le système suivant:

a-b+2c+d = 0
a+d = 0
a+b+c+d = 0

Donc, a = -d,
On a donc:

-b+2c = 0
a=-d
a+b+c+d=0

Donc, b=2c
On a donc:

b=2c
a=-d
3c=0
On a donc c = 0 et b = 0

Ce qui signifie qu'il nous reste a=-d
Donc -d + d = 0, donc 0 = 0

Et 0 = 0 n'est pas une équation cartésienne vue qu'elle nous donne aucune infos sur le plan..


Je sais que l'équation cartésienne du plan OYZ est x = 0 car il n'existe pas de x. Du coup, l'équation cartésienne de ce plan-ci serait juste x=1 car les x valent toujours 1 ? Cela me paraîtrait trop facile comme exercice, du coup, je bloque...

Merci de votre future aide,
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[jacknicklaus]

Du coup, l'équation cartésienne de ce plan-ci serait juste x=1 car les x valent toujours 1 ?

ben voilà.

exercice suivant !

[inviteafc2d3a1]

Haha, cela fait 45 mins environ que je cherche, car je me disais que c'était trop con pour que cela soit ça...

Merci de ton aide du coup!

En effet, au suivant!

[inviteafc2d3a1]

C'est toujours moi, je bloque au suivant, mais ici je ne sais pas comment commencer l'exercice...
Je dois résoudre l'exercice: "Donnez un système d'équations cartésiennes de la droite D passant par le point (-1,2,3) et parallèle à la droite D' = (x,y,z) = (λ+2, -4, 5λ+1), où λ appartient à R.

Je n'ai jamais vu ce qu'était un système d'équations cartésiennes, jusqu'à présent, j'ai toujours du trouver qu'une seule équation. Du coup, je ne sais pas combien je dois trouver d'équations cartésiennes dans le système et quelles sont ces équations cartésiennes.

Je pensais au début à trouver 3 pts de la droite et ensuite remplacer chaque composante dans l'équation cartésienne et ainsi avoir un système à 3 équations cartésiennes mais je ne pense pas que cela soit comme cela qu'il faut procéder.

Par exemple, nous savons que (-1,2,3) est un point de la droite, donc -a +2b +3c +d = 0 serait une 1ère équation cartésienne du système?

Merci de votre aide!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonjour,

Par exemple, nous savons que (-1,2,3) est un point de la droite, donc -a +2b +3c +d = 0 serait une 1ère équation cartésienne du système?

Non ! tu donnes l'équation d'un plan passant par le point, mais tu n'est pas certain qu'il contienne la droite.

Donnez un système d'équations cartésiennes de la droite D passant par le point (-1,2,3) et parallèle à la droite D' = (x,y,z) = (λ+2, -4, 5λ+1), où λ appartient à R.

Il suffit de compléter ce qui suit en remplaçant les points de suspension par les valeurs qui conviennent.

La droite D' passe par le point A'=(…,…,…) et est dirigée par le vecteur (…,…,…).
La droite D passe par le point A=(-1,2,3) et est dirigée par le vecteur (…,…,…).
Un deuxième point de la droite D est B=(…,…,…).

Le plan d'équation cartésienne ax+by+cz+d=0 contient la droite D, si et seulement si :

Tu résous le système de deux équations aux équations (a,b,c,d) et tu obtiens les équations cartésiennes de tous les plans contenant la droite.
Il suffit alors de choisir convenablement deux de ces plans pour obtenir un système d'équations cartésiennes de la droite.

[jacknicklaus]

Sur R3, une équation cartésienne du type ax+by+cz+d = 0 est une équation d'un plan. Comme c'est linéaire, une infinité d'équations conviennent, et sont identiques à un coef multiplicateur près. Ainsi x = 1 que tu viens de voir est une équation de cette forme, pour le plan cherché. 7x = 7 aussi.

Sur R3, l'intersection de 2 plans (non parallèles) définit une droite. DONC il faut un système de 2 équations du plan pour définir une droite. La aussi, il en existe une infinité, mais avec un raffinement : si tu visualises 2 plans qui se coupent sur sur une droite donnée, tu peux faire tourner les 2 plans autour de la droite et ils définissent encore la même droite. Donc tu as une grande latitude de choix pour les 2 plans et donc pour les 2 équations. L'astuce est de trouver le plus simplement possible deux plans qui conviennent. Suis les indications de God's Breath et tu vas y arriver, d'autant que l'énoncé est sympa avec toi, il donne l'équation de droite D' sous une gentille forme paramétrique, d'où le vecteur directeur est immédiatement extrait. Et comme D est parallèle à D', ben le vecteur directeur de D ....

une autre méthode est d'obtenir une équation paramétrique de D comme celle de D' (immédiat avec un point et le vecteur directeur), puis d"exprimer le paramètre λ en fonction de x, puis de remplacer ce λ dans les 2 expressions de y= et z= pour obtenir 2 équation de plans.

[CARAC8B10]

Autre rédaction, plus vectorielle :

C.n.s pour que M(x;y;z) appartienne à la droite (D) passant par et parallèle à (D') :
, k réel
avec vecteur directeur de (D')
Soit :


D'où le système d'équations cartésiennes :

[jacknicklaus]

CARAC8B10, ce n'est pas la meilleure idée que poster la solution toute rédigée. Le principe de ce forum est d'aider à faire, de donner des pistes, d'éliminer des blocages. Pas de rédiger intégralement les exercices à la place des posteurs. cf la charte.