Géometrie algébrique à la Joe Harris

**Anonyme007** · 18/02/2018, 10h48

Bonjour à tous,

Je commence aujourd'hui la lecture du livre de Joe Harris qui a pour titre : Algebraic Geometry, a first course. C'est un livre qui aborde la géométrie algébrique par les outils de la théorie de l'intersection et la théorie des moduli spaces. Alors, je rencontre des problèmes à comprendre ce qui est rédigé dans ce livre dès le premier chapitre :

Tout sous ensemble fini de points $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ est une sous variété de $\text{[math]}$ .
En page $\text{[math]}$ , paragraphe : Finite sets :
Pourquoi si $\text{[math]}$ consiste en $\text{[math]}$ points n'appartenant pas à une meme droite, alors $\text{[math]}$ peut être décrit comme le lieu des zéros de polynômes de degré $\text{[math]}$ ou ''less'' ?

Merci d'avance pour votre éclairage.

**Anonyme007** · 18/02/2018, 12h08

D'accord, je comprends :
$\text{[math]}$ comprend $\text{[math]}$ points, alors, le polynôme de plus petit degré qui suffit pour que $\text{[math]}$ soit le lieu des zéros de ce polynôme est un polynôme de degré $\text{[math]}$ ou ''less'' ...
Pourquoi ''less'' ... ?
Parce que si dans $\text{[math]}$ il existe au moins trois points colinéaires ( i.e : appartenant à une meme droite ), alors, le polynôme de plus petit degré qui suffit pour que $\text{[math]}$ soit le lieu des zéros de ce polynôme est un polynôme de degré strictement inférieur à $\text{[math]}$ , C'est à dire, on ajoute ''less'' parce que il y'a des cas ou un sous ensemble de points de $\text{[math]}$ ne sont pas en général position, mais sont colinéaires.

**Anonyme007** · 18/02/2018, 13h50

Bonjour,

Pourquoi $\text{[math]}$ est une sous variété analytique mais pas une sous variété algébrique ?

Merci d'avance.

**minushabens** · 18/02/2018, 14h58

Sans-doute parce qu'un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de zéros.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 18/02/2018, 15h01

Tu es génial minushabens, comme toujours. Merci beaucoup. J'ai compris. Je suis soulagé.

**Anonyme007** · 18/02/2018, 19h08

Bonsoir,

Harris dans son ouvrage : Algebraic geometry, A first course, fournit deux définitions qui sembles être distinctes à première vue, de la notion de fonctions régulières :

La première :
- Let $\text{[math]}$ be any open set and $\text{[math]}$ any point.
We say that a function $\text{[math]}$ on $\text{[math]}$ is regular at $\text{[math]}$ , if in some neighbourhood $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ it is expressible as a quotient $\text{[math]}$ , where $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ are polynomials and $\text{[math]}$ . We say that $\text{[math]}$ is regular on $\text{[math]}$ if it is regular at every point of $\text{[math]}$ .
La deuxième :
The ring of functions regular at every point of $\text{[math]}$ is the coordinate ring $\text{[math]}$ with $\text{[math]}$ the ideal of $\text{[math]}$ defined by : $\text{[math]}$ of functions vanishing on $\text{[math]}$ . Moreover, if $\text{[math]}$ is a distinguished open subset, then the ring of regular functions on $\text{[math]}$ is the localization $\text{[math]}$ .

Alors, ma question est comment mettre un lien entre les deux définitions à fin de pouvoir voir clairement pourquoi les deux définitions sont équivalentes ?

Dans un passage, il affirme : A polynomial $\text{[math]}$ that is nowhere zero on $\text{[math]}$ is a unit in $\text{[math]}$ . Je ne sais pas si cette affirmation peut aider à déceler l'astuce.

Merci d'avance.

**minushabens** · 19/02/2018, 05h24

Dans la deuxième définition ça ne serait pas plutôt K(z1,..,zn) ?

**minushabens** · 19/02/2018, 06h38

non, c'est idiot ce que j'ai écrit. Mais effectivement les deux définitions n'ont pas l'air de coïncider.

**Anonyme007** · 19/02/2018, 09h31

Envoyé par minushabens

Dans la deuxième définition ça ne serait pas plutôt K(z1,..,zn) ?

Tu comprends effectivement où je voulais en venir. C'est ça ce qui m'intriguait au début, mais je crois que j'ai réglé le problème :

En fait, l'anneau des coordonnées $\text{[math]}$ est un anneau muni de deux lois de composition interne : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et non simplement un groupe muni de la loi $\text{[math]}$ . Donc, on a : $\text{[math]}$ .
Pour l'addition $\text{[math]}$ , les éléments de $\text{[math]}$ sont noté : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .
Pour la multiplication $\text{[math]}$ , les éléments de $\text{[math]}$ sont noté : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .
Non ?
Alors, si $\text{[math]}$ est régulière sur $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ , non ?
Donc, $\text{[math]}$ est régulière sur $\text{[math]}$ si et seulement si $\text{[math]}$ , non ?

Merci d'avance.

**AncMath** · 19/02/2018, 16h06

Envoyé par minushabens

non, c'est idiot ce que j'ai écrit. Mais effectivement les deux définitions n'ont pas l'air de coïncider.

Si si, les deux définitions conïncident pour $\text{[math]}$ une variété affine, ce qui est implicite dans ce qui est dit d'ailleurs, ou à tout le moins quasi-affine, dans ce cas là le résultat n'est pas correct, il l'est exactement pour les variétés affines. C'est en fait presque la définition d'etre affine.

**mtheory** · 19/02/2018, 16h20

Envoyé par Anonyme007

Bonjour à tous,

Je commence aujourd'hui la lecture du livre de Joe Harris qui a pour titre : Algebraic Geometry, a first course. .

Je le trouve pas facile d'accès ce bouquin, perso, j'ai trouvé le livre de Daniel Perrin (https://www.amazon.fr/G%C3%A9om%C3%A...sap_bc?ie=UTF8) nettement plus clair ainsi que celui de Justin Smith https://www.amazon.fr/Introduction-A...9057438&sr=1-1.

**minushabens** · 19/02/2018, 16h25

ah oui je viens de capter que X avait un nombre fini de points. Je ne voyais pas comment une définition où les fonctions sont contraintes à n'être rationnelles que sur un voisinage de certains points pouvait être équivalente à l'autre définition qui est purement algébrique. Bon j'arrête de m'immiscer dans des discussions de maths qui me dépassent...

**AncMath** · 19/02/2018, 16h28

Non, non, $\text{[math]}$ n'a pas qu'un nombre fini de points ! La vie serait triste sinon. Elle est simplement affine : c'est une fermé de $\text{[math]}$ .
Finalement on peut en donner une démonstration tres simple à la main (en général c'est un des premiers trucs qu'on prouve après la définition de variété affine, et de fonctions regulières), mais la "vrai" raison c'est que pour $\text{[math]}$ affine alors $\text{[math]}$ pour un faisceau quasi-cohérent.

**Anonyme007** · 19/02/2018, 20h38

Envoyé par mtheory

Je le trouve pas facile d'accès ce bouquin, perso, j'ai trouvé le livre de Daniel Perrin (https://www.amazon.fr/G%C3%A9om%C3%A...sap_bc?ie=UTF8) nettement plus clair ainsi que celui de Justin Smith https://www.amazon.fr/Introduction-A...9057438&sr=1-1.

Merci, j'ai lu avant une bonne partie du livre de Daniel Perrin meme si je l'ai pas entièrement lu, mais je trouve qu'il est temps pour moi de lire le livre de Joe Harris car j'ai déjà assez de prérequis en géométrie algébrique que j'ai appris ces dernières années. Le livre est intéressant pour moi parce que j'aimerais devenir familier avec la théorie de l'intersection qui m'a beaucoup accablé quant j'ai eu l'idée de m'y initier il y'a quelques années, je l'ai pas bien saisi parce qu'elle est de nature combinatoire, et cela me dégoute un peu, mais maintenant je suis motivé pour la comprendre malgré son gout amer parfois.

Je suis maintenant à la page $\text{[math]}$ , et jusqu'à maintenant je trouve aucun problème. J'ai commencé une fois à lire ce livre il y'a quelques années en désordre, j'ai appris grâce à ce livre les variétés de Schubert, les moduli spaces, ... etc, je l'ai entrepris en désordre, c'est pourquoi j'ai une idée assez claire du contenu du livre, c'est pourquoi je le trouve facile à aborder maintenant.

**mtheory** · 19/02/2018, 21h04

Envoyé par Anonyme007

Merci, j'ai lu avant une bonne partie du livre de Daniel Perrin meme si je l'ai pas entièrement lu, mais je trouve qu'il est temps pour moi de lire le livre de Joe Harris car j'ai déjà assez de prérequis en géométrie algébrique que j'ai appris ces dernières années. Le livre est intéressant pour moi parce que j'aimerais devenir familier avec la théorie de l'intersection qui m'a beaucoup accablé quant j'ai eu l'idée de m'y initier il y'a quelques années, je l'ai pas bien saisi parce qu'elle est de nature combinatoire, et cela me dégoute un peu, mais maintenant je suis motivé pour la comprendre malgré son gout amer parfois.

Je suis maintenant à la page $\text{[math]}$ , et jusqu'à maintenant je trouve aucun problème. J'ai commencé une fois à lire ce livre il y'a quelques années en désordre, j'ai appris grâce à ce livre les variétés de Schubert, les moduli spaces, ... etc, je l'ai entrepris en désordre, c'est pourquoi j'ai une idée assez claire du contenu du livre, c'est pourquoi je le trouve facile à aborder maintenant.

ok

sinon pour ceux que ça intéresserait http://www.five-dimensions.org/Textbooks/ c'est free

**Anonyme007** · 20/02/2018, 16h28

Bonjour,

Merci mtheory pour ces ouvrages à libre accès.

Si j'aurais du temps prochainement, je les lirai.

J'ai une autre question à vous soumettre tous chers forumeurs :

Si l'on croit à wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Group_object :

Définition :
A group object in $\text{[math]}$ is an object $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ together with morphisms
- $\text{[math]}$ ( thought of as the "group multiplication" )
- $\text{[math]}$ ( thought of as the "inclusion of the identity element" )
- $\text{[math]}$ ( thought of as the "inversion operation" )

Alors, ce que je n'arrive pas comprendre est que un objet $\text{[math]}$ d'une catégorie $\text{[math]}$ est un ''group objet'' s'il appartient à une sous catégorie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ comme objet de $\text{[math]}$ muni d'une structure de groupes dans $\text{[math]}$ , ou bien il appartient à une catégorie $\text{[math]}$ différente de $\text{[math]}$ qui contient les ''group objects'' telle que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un foncteur d'oubli ?

Merci d'avance.

azizovsky · 20/02/2018, 17h49

ad hoc, catégorie des groupe abéliens (C') et celle des groupe non abéliens (C) , F(C')=C oublier la commutativité ...

**AncMath** · 20/02/2018, 18h14

Envoyé par Anonyme007

Alors, ce que je n'arrive pas comprendre est que un objet $\text{[math]}$ d'une catégorie $\text{[math]}$ est un ''group objet'' s'il appartient à une sous catégorie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ comme objet de $\text{[math]}$ muni d'une structure de groupes dans $\text{[math]}$ , ou bien il appartient à une catégorie $\text{[math]}$ différente de $\text{[math]}$ qui contient les ''group objects'' telle que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un foncteur d'oubli ?

Ni l'un ni l'autre, un objet groupe dans une catégorie c'est l'objet qui est défini plus haut, bien sur les applications $\text{[math]}$ sont soumises à des conditions. Point. Ça n'a même pas besoin d’être un objet d'une catégorie ensembliste, i.e qui admet un foncteur fidèle vers la catégorie des ensembles.
Cela confère une structure de groupe fonctorielle sur les points d'un objet groupe à valeur dans n'importe quel objet.

**Anonyme007** · 20/02/2018, 19h24

Envoyé par AncMath

Ni l'un ni l'autre ...

Ce qui me laisse dire que c'est un des deux est l'exemple suivant dont parle wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Group_object :

An algebraic group is a group object in the category of algebraic varieties. In modern algebraic geometry, one considers the more general group schemes, group objects in the category of schemes.

Donc, wikipedia confirme qu'il s'agit de l'un des deux, mais, je ne sais pas lequel des deux :
An algébraic group est un group objet ( de la catégorie $\text{[math]}$ des groupes algébriques ) dans la catégorie des variétés algébriques $\text{[math]}$ .
Alors, j'ignore quel lien entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
est ce qu'on a : $\text{[math]}$ ou bien $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un foncteur d'oubli fidèle différent de l'inclusion ?. Pour dire finalement que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux catégories disjointes.
A mon avis, il s'agit simplement d'une sous catégorie par l'inclusion fonctorielle, non ?

**AncMath** · 20/02/2018, 19h51

C'est le pire exemple que tu pouvais donner un schéma en groupe ou un groupe algébrique, c'est à dire un objet groupe dans la catégorie des schémas ou des variétés, n'a pas du tout de structure de groupe sur l'ensemble sous jacent. Wiki ne dit rien de tel...
Pourquoi vouloir "inventer" des choses farfelues. La définition t'a été donnée.

**AncMath** · 20/02/2018, 19h57

Un objet groupe dans une catégorie C c'est simplement un objet muni d'application etc... tel que le foncteur des points ait une structure naturelle de groupe.

**Anonyme007** · 20/02/2018, 20h12

Envoyé par AncMath

... un objet groupe dans la catégorie des schémas ou des variétés, n'a pas du tout de structure de groupe sur l'ensemble sous jacent. ...

Je ne comprends pas bien cette phrase ... Ce n'est pas facile à saisir pour moi ça ... Tu dis la chose et son contraire ...

C'est comme tu me dis un groupe n'est pas du tout un groupe ... est ce que ça a un sens ?

Tu voulais dire que un objet group dans la catégorie des variétés algébriques n'est pas du tout un groupe algébrique ?

**Anonyme007** · 20/02/2018, 20h58

T'inquiète pas AncMath, je comprends ce que tu voulais dire :
Tu voulais dire que la catégorie des objets group par rapport à la catégorie des schémas ou la catégorie des variétés algébriques est ce que la catégorie des motifs purs par rapport à la catégorie des variétés projectives lisses, non ?
La catégorie des motifs pures est une catégorie à part entière indépendante de la catégorie des variétés projectives lisse malgré qu'il existe un foncteur ( pas un foncteur d'oubli ( fidèle ou non ) , mais un foncteur quant meme qui les met en liaison ) d'une de ces deux catégories vers l'autre, non ?

**AncMath** · 21/02/2018, 08h56

Non, ca n'a rien à voir, du tout.
Maintenant si tu as un objet groupe X dans une catégorie C, alors bien sur que X est... un objet de la catégorie C. C'est dans la définition. C'est ça ta question !?

**Anonyme007** · 21/02/2018, 11h08

Envoyé par AncMath

Non, ca n'a rien à voir, du tout.
Maintenant si tu as un objet groupe X dans une catégorie C, alors bien sur que X est... un objet de la catégorie C. C'est dans la définition. C'est ça ta question !?

Non. J'ai une catégorie $\text{[math]}$ avec objets $\text{[math]}$ . Si on munit ces objets maintenant d'une structure d'objet groups $\text{[math]}$ Est ce que alors : $\text{[math]}$ sont maintenant toujours des objets de $\text{[math]}$ , ou bien appartiennent désormais à une nouvelle catégorie $\text{[math]}$ distincte de la catégorie $\text{[math]}$ ?

**AncMath** · 21/02/2018, 11h27

Oui, donc c’était bien ta question...
Je vais arreter de perdre mon temps, c’est domage tu evoques des sujets intéressants dans tes messages, mais a chaque fois ils ne servent a rien a part poser des question genrales et triviales avec lesquelles les objets évoqués n’entretiennent aucun rapport specifique.
Comme si on introduisait l’hypothese de riemann pour a la fin demander «*pourquoi 8+5=9?*».
Je suis desole mais ce genre de dialogue ne m’intéresse pas.

**Anonyme007** · 21/02/2018, 11h37

Oui, je sais, je pinaille à chaque discussion sur des points futiles, mais tout ce que je voulais savoir à la fin, en conjecture de Hodge, est-t-il permis de trouver des classes de Hodge qui proviennent de cycles algébriques dont le support est formés de groupes algébriques au lieu tout simplement de sous variétés projectives, puisqu'on peut considérer les groupes algébriques des objets groupes qui sont bien des éléments de la catégorie des variétés algébriques. est ce qu'il est permis de faire ça. Voilà où j'en voulais venir.

**Médiat** · 21/02/2018, 11h43

Envoyé par mtheory

ok

sinon pour ceux que ça intéresserait http://www.five-dimensions.org/Textbooks/ c'est free

Merci de ce lien, mais qu'est-ce que c'est mal écrit !

Manque de parenthèses essentielles, apparition de variables non définies, ou non utilisées, changement de notation (k1 qui devient ki, puis qui devient k (en 2 lignes)), des phrase incompréhensibles pour moi :

Si p et q sont tous les 2 premiers et que q divise p pour un i >= 1 alors p=q

**Anonyme007** · 21/02/2018, 14h51

Bonjour,

Voici une autre question différente :

D'après Joe Harris :
Soit $\text{[math]}$ une variété projective.
Alors on se demande combien d'hypersurfaces de degré $\text{[math]}$ pour chaque degré $\text{[math]}$ , contiennent $\text{[math]}$ .
Autrement dit, pour chaque $\text{[math]}$ , quelle est la dimension de l'espace vectoriel des polynômes homogènes de degré $\text{[math]}$ s'annulant sur $\text{[math]}$ ?.
Pour cela, on construit une fonction $\text{[math]}$ qui s'appelle par convention fonction de Hilbert de $\text{[math]}$ ., en posant $\text{[math]}$ , la codimension dans l'espace vectoriel des polynômes homogènes de degré $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , de son sous espace formé de ceux s'annulant sur $\text{[math]}$ .
C'est à dire : $\text{[math]}$ où : $\text{[math]}$ est l'anneau des coordonnés homogènes de $\text{[math]}$ , et le subscript : $\text{[math]}$ est le $\text{[math]}$ - ième morceau gradué de $\text{[math]}$ .

Alors, ma question, si $\text{[math]}$ consiste en trois points de $\text{[math]}$ , pourquoi alors : $\text{[math]}$ nous informe exactement quant ces trois points sont colinéaires ou non ? .
Pourquoi, alors : $\text{[math]}$

Pourquoi d'autres part, $\text{[math]}$ quelques soit la position des trois points ?

Merci infiniment pour votre éclairage.

**AncMath** · 21/02/2018, 16h23

Par 3 points alignés il passe combien de droites ? Par 3 points non alignés il passe combien de droites ?

Géometrie algébrique à la Joe Harris

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