Théorème de Dirichlet et séries de Fourier

[MidoXSan]

Bonjour,

En fait j'ai un petit problème avec les séries de fourier. Je vais illustrer ça par un exemple.

Tout d'abord, si on a une fonction de période 2pi par exemple, centrée en 0, et que f est continue sur IR, cela veut-il forcément dire que f(-pi)=f(pi) ? l'inverse est-il vrai ?
D'autre part, je vais donc considérer deux signaux : sinusoïdal, triangulaire et dents de scie.

1) Le sinusoïdal est représenté par une fonction partout continue, sa dérivée aussi est continue donc par le théorème de Dirichlet, La série de Fourier S de f tend vers le prolongement périodique de f
2) Le triangulaire est représenté par une fonction partout continue, mais sa dérivée n'est pas continue strictement mais continue par morceaux, donc de même, par le théorème de Dirichlet, la série de Fourier S de f tend vers le prolongement périodique de f
3) La dent de scie est représentée par une fonction continue par morceaux et sa dérivée est aussi continue par morceaux, donc par le théorème de Dirichlet, la série de Fourier S de f tend vers le prolongement périodique de la régularisée de f (dans laquelle on égale la fonction aux points de discontinuité à la moyenne des limites à gauche et à droite du point de discontinuité).

Est-ce que ceci est bien vrai ?

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

"si on a une fonction de période 2pi par exemple, centrée en 0, et que f est continue sur IR, cela veut-il forcément dire que f(-pi)=f(pi) ?" A ton avis, que veut dire "de période 2 pi ? Donc comme il y a 2 pi entre -p et pi ...
En fait, si on a une fonction de période 2pi alors f(-pi)=f(pi) . pourquoi parler de "centré en 0" ou de "continue" qui n'ont rien à voir.
"l'inverse est-il vrai ?" Quel inverse ? Voudrais-tu dire que tu penses vraiment qu'on peut déduire de f(-pi)=f(pi) seulement le fait que la fonction est continue ? Qu'elle est centrée en 0 ? Qu'elle est périodique ?

Sérieusement, tu devrais revois des cours de début de lycée sur les fonctions, puis utiliser ton cerveau ....

Pour la suite, tu peux conclure seul : Soit tu as appliqué le théorème de Dirichlet (les hypothèses y sont) et tu n'as besoin de personne pour savoir si c'est juste, soit tu ne l'as pas fait et tu perds ton temps.

Je ne peux rien dire sur le 3, je ne sais pas ce qure tu appelles "dent de scie", sur une scie les dents ont une forme continue (le bord de la scie).

Cordialement.

NB : réfléchis avant d'écrire : "je vais donc considérer deux signaux : sinusoïdal, triangulaire et dents de scie. " !!

[Anonyme007]

Bonjour,

Voici la fonction dents de scie en image sur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Signal_en_dents_de_scie

[MidoXSan]

Désolé j'ai pas été très explicite et j'ai écris trop rapidement... Du coup je vais aller à l'essentiel, et avec plus de concentration.

Une condition suffisante pour la convergence uniforme vers f de la série de Fourier de f :

1) f dérivable par morceaux sur [-pi,pi] et sa dérivée est continue par morceaux sur [-pi,pi]
2) f continue sur [-pi,pi]
3) f(-pi)=f(pi)

Ces 3 points doivent être satisfaits pour qu'il y ait convergence uniforme. En fait ce que je veux savoir, c'est si on écrit que "le prolongement périodique de f est continu sur IR", on peux remplacer par le 2) et 3) ?

D'autre part, j'appelle signal en "dents de scie" un signal representé par une fonction de période T, de type f(x) = x (-T/2<x<T/2) et f(0) = constante.
Pour le cas de cette fonction, elle est continue par morceaux sur l'intervalle [-T/2,T/2] et sa dérivée est aussi continue par morceaux sur [-T/2,T/2] donc selon le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement vers le prolongement périodique de la régularisée de f.

Maintenant je veux savoir si elle converge uniformément vers f. Je vérifie alors les 3 conditions :
1) Ok
2) Non -> f n'est pas continue sur [-T/2,T/2]
3) Ok

Donc elle converge simplement mais pas uniformément.(contrairement aux 2 premières qui convergent uniformément)

Voilà merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

"ce que je veux savoir, c'est si on écrit que "le prolongement périodique de f est continu sur IR", on peux remplacer par le 2) et 3) ? " tu veux dire ne pas avoir à démontrer le 2 et le 3 ? N'est-ce pas une évidence pour le 2 (si une fonction est continue sur un intervalle, elle est bien continue sur un sous-intervalle, non ?) et fait par construction pour le 3 ?
Sauf qu'il ne suffit pas de le dire, il faut le prouver. C'est le cas si tu as une restriction à d'une fonction continue sur et périodique de période . En dehors de ce cas, où 2 et 3 sont automatiquement vérifiés, je ne vois pas l'intérêt de parler de prolongement.

Pour ta "dent de scie", tu te compliques inutilement la vie : Quand une série de fonctions continues (toujours le cas pour les séries trigonométriques) converge uniformément, la somme de la série est continue. Ce n'est pas le cas de ton signal, donc il n'y a pas convergence uniforme. Inutile de vérifier tes conditions.

Cordialement.