anneau

[invitedb565d4b]

Bonjour !

Un element a d'un anneau A est nilpotent s'il existe un entier strictement
positif n tel que a^n = 0.
Montrer que l'ensemble ã des elements nilpotents d'un anneau A est un ideal et que
le quotient A=a ne possede pas d'elements nilpotents non nuls.

j'ai deja montré que si un sous-ensemble non vide ã d'un anneau A est un ideal si et
seulement si, pour tout (a,b) appartient a ã et tout c appartient a A, on a a + bc appartient a ã.

soit x et y appartenant a ã (x^n=0 , y^m=0) je doit trouver un z tel que (x+cy)^z=0 avec c appartient a A
le probleme cest que d'apres la formule du binome je vais avoir x^z + x^z-1 etc jusqu'a x^0 et pareil avec y "dans l'autre sens" donc meme en prenant z=max(n,m) tout ne s'annulera pas. je suis peu etre parti sur une mauvaise piste..
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[invite5357f325]

La formule du binôme est une bonne idée. N'oublie pas que les termes se multiplient entre eux : le binôme commence comme . Chacun des termes va être zéro, en fait dès que suffit comme tu l'as écrit.

[invite23cdddab]

Attention, ça n'est vrai que dans les anneaux commutatifs !

Par exemple, dans l'anneau , et sont nilpotents, mais A+B n'est pas nilpotent.


Maintenant, si tu es dans un anneau commutatif :

Si et , alors .

On a

Et chaque terme de la somme est nul.

En effet,

- si , alors ,

- et si , alors, et alors

Edit : max(n,m) ne suffit pas. Par exemple, si x et y sont nilpotents d'ordre 2, mais que 2xy n'est pas nul, alors (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 n'est pas nul. Il faut prendre m+n-1 pour que ça marche "à tout les coups"

[invite5357f325]

Oups, merci de la correction

[A voir en vidéo sur Futura]

[slivoc]

Bonjour,

Peut etre sans la formule du binome:
(en notant [a] la classe d' un élément dans le quotient)
[a]^n = [0] <=> [a^n]=[0], c' est à dire que a^n est nilpotent donc a est nilpotent donc [a] = [0]

Bonne journée !

[slivoc]

Bonjour,

Peut etre sans la formule du binome:
(en notant [a] la classe d' un élément dans le quotient)
[a]^n = [0] <=> [a^n]=[0], c' est à dire que a^n est nilpotent donc a est nilpotent donc [a] = [0]

Bonne journée !

oups, j' ai lu trop vite...

[AncMath]

Voici une démonstration plus longue, plus délicate à trouver et sans doute utilisant des outils dont tu ne disposes pas encore. Mais je l'aime bien !
Soit un élément nilpotent, alors appartient à tous les idéaux de et donc appartient certainement à tous les idéaux premiers, ceux dont le complémentaire est stable par multiplication.
Soit maintenant un élément de tous les idéaux premiers. Si l'on regarde le localisé il ne contient aucun idéal premier, c'est donc l'anneau nul, par le lemme de Zorn. Autrement dit 1 s'annule dans et c'est dire que pour un certain .
Donc l'ensemble des éléments nilpotents est exactement l'intersection de tous les idéaux premiers et est donc un idéal, puisque l'intersection d’idéaux est un idéal.

Le deuxième argument utilisé qui est classique m'a toujours beaucoup plu.