connaissez vous le "two by two matrix trick" ?

[invite54165721]

bonsoir

j'ai beau googler "le truc de la matrice deux sur deux" je ne trouve rien. mais en anglais il y en a plein mais ils ne révellent pas ce
truc.
Alain Connes l'évoque
J’ai un souvenir précis des circonstances exactes de deux de mes découvertes. pour la
première, j’étais en voiture; alors que je pensais, croyais-je, à tout autre chose, j’eus la
certitude absolue, devant un feu rouge, que les calculs longs et pénibles que je faisais
depuis six mois s’éclairaient à la lueur d’une astuce mathématique qui allait devenir
classique, le two by two matrix trick
. Je n’étais pas parvenu à la découverte par un
raisonnement, tout s’était passé comme si mon inconscient s’était brutalement exprimé.
-----

[ansset]

bjr,
de quel "truc" parles tu ?

[invite54165721]

truc, astuce, ansatz,...
va savoir

en anglais c'est trick.

connes écrit
It is here that the two by two matrix trick (Groupe modulaire d’une algèbre de von Neumann, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A-B, 274, 1972) enters the scene and shows that in fact the groups of automorphism s_L are all the same modulo inner automorphisms;

je n'ai pas acces a cet article de l'academie des sciences

[ansset]

je n'ai pas acces a cet article de l'academie des sciences

personnellement , je sais à l'avance que cela va dépasser ( et de loin ) les notions mathématiques que je pense maitriser.
Ce n'est peut être pas ton cas.
pourquoi t'y intéresses tu particulièrement.?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

bonjour Annset

j'essaie de comprendre meme au niveau qui est le mien de quoi il retourne en géométre non commutative.
le sujet étant ardu il est tres rarement abordé a un niveau élémentaire. quand on sait ce qu'est une C star algebre ou une algebre de von neuman on peut essayer.
j'ai donc cherché des articles a mon niveau et je suis tombé sur un blog on alain connes lui meme en parlait en 2007
le langage y est simple. c'est la qu'il fait référence a ce "trick" qui assure une unicité que j'aimerais comprendre.

pn pourrait en profiter pour éclaircir un point. la définition de l'application s_L ne me semble pas ambigue et la notation L(xy) correspond a la trace tr(xyL)
Pourquoi écrit il que tout ceci est formel? Il n'a pas encore parlé de mesure mais ca ne me semble pas invalider ce qui a été écrit avant. si L et x sont des éléments de l'algebre s est bien défini.

[minushabens]

l'anecdote que tu cites dans le premier message rappelle celle racontée par Poincaré.

Pourquoi écrit il que tout ceci est formel?

je n'ai pas lu le texte de Connes mais en général quand on dit qu'un calcul est "formel" (alors que tout est formel en maths) c'est qu'on manipule des objets dont on n'est pas certain qu'ils soient bien définis. Par exemple on va faire des calculs sur des fonctions définies par des intégrales sans se préoccuper de savoir si les intégrales sont finies. On peut développer ces calculs et seulement à la fin se préoccuper de convergence. C'est typiquement ce qu'on fait quand on travaille sur les fonctions génératrices (qui sont définies par des séries de puissances).

[azizovsky]

la réponse est ici: https://youtu.be/QfZLKxKTS2c?t=1183

c'est des moments formidables de la vie ...,par exemple j'ai passé presque 10 ans à mettre dans une même relation les facteurs :

et et

enfin c'était

et angle d'espace et le temps

le fil conducteur c'est la physique ....

ps: le problème c'est de trouver les transformations d'espace temps...

[invite54165721]

j'ai regardé cette vidéo qui est passionnante.
il y parle effectivement de la révélation qu'il a eu au feu rouge; La il ne parle pas de matrices 2 sur 2 mais de la théorie de takesaki
Il est possible que ces matrices a quatre éléments soient les 3 matrices non commutantes des spins selon les trois axes.
on peut les prendre et voir ce que ca donne avec leur algebre pour les formules qu'il donne;
En particulier pour ce fameux groupe a un parametre.

[0577]

Bonjour,

les résultats auxquels Connes fait référence sont contenus dans l'article http://www.alainconnes.org/docs/THESE.pdf

Cet article ne contient pas explicitement l'expression "two by two matrix trick" mais on peut reconnaître l'argument correspondant.

Etant donnés une algèbre de von Neumann M et un poids \phi sur M, la théorie de Tomita-Takesaki définit un groupe à un paramètre d'automorphismes de M. La question que Connes se pose est d'étudier la manière dont ce groupe dépend du poids \phi. Il prend donc deux poids \phi_1 et \phi_2 et veut comparer les groupes à un paramètre d'automorphismes associés. L'idée intuitive est d'essayer de trouver un objet qui interpole entre \phi_1 et \phi_2. Un tel objet est donné par l'algèbre de von Neumann , où
est l'algèbre des matrices deux par deux, munie du poids \phi défini par
\phi([a,b],[c,d])=\phi_1(a)+\phi_2(d). L'étude du groupe à un paramètre associé à \phi permet de comparer les groupes à un paramètre associés à \phi_1 et \phi_2.

[invite36041331]

Salut,

le fil conducteur c'est la physique ....

ps: le problème c'est de trouver les transformations d'espace temps...

Salut,

@Azizovsky : Merci pour le lien.

En fait la composition des vitesses en relativité générale correspond non pas à une addition des vitesses, mais à une multiplication :

avec d une constante.

En effet, il existe une homographie tel que (en fait c'est un simple transport par g de la multiplication).

Si cela intéresse, je donnerais l'homographie associée g.

Cordialement.

[invite54165721]

merci pour le lien 0577
effectivement il en parle des la page 3
s'agit il de sa these? ce n'est pas présenté de la facon habituelle avec la liste du jury.

quand tu parles de ce qui interpole entre les deux poids est ce qu'il y a un rapport avec les entrelaceurs (intertwiners)?

[azizovsky]

Salut,



Salut,

@Azizovsky : Merci pour le lien.

En fait la composition des vitesses en relativité générale correspond non pas à une addition des vitesses, mais à une multiplication :

avec d une constante.

En effet, il existe une homographie tel que (en fait c'est un simple transport par g de la multiplication).

Si cela intéresse, je donnerais l'homographie associée g.

Cordialement.

Bonjour, merci d'avance de me donné l'homographie pour avoir une idée, on sait jamais, avec l'âge, on devient prisonnier au dogmes dans lesquels notre cerveau a baigné ...., quasi impossible d'échapper à la pression de sa propre culture scientifique...., en plus j'évite les discussions qui parle de ça, question de respect de la charte ...

NB-composition des vitesses en RR non pas en RG .(mais il faut respecter le sujet de la discussion...)

[azizovsky]

ah, je viens de voir ça , déjà ici : http://forums.futura-sciences.com/ph...ication-2.html

[invite54165721]

c'est bien d'avoir ouvert un autre fil
je ne voyais pas le rapport avec le sujet de ce fil!

[invite54165721]

Un tel objet est donné par l'algèbre de von Neumann , où
est l'algèbre des matrices deux par deux, munie du poids \phi défini par
\phi([a,b],[c,d])=\phi_1(a)+\phi_2(d). L'étude du groupe à un paramètre associé à \phi permet de comparer les groupes à un paramètre associés à \phi_1 et \phi_2.

je comprends cette notation si [a,b],[c,d] est une matrice de matrices. ainsi a et d sont des matrices obtenues en multipliant M par deux nombres différents.
du coup je ne comprends pas celle dz connes.
il le note
on a un produit tensoriel de matrices de dimensions differentes. pourquoi a t on ces memes ij ?

[0577]

Par [a,b],[c,d], je voulais écrire une matrice deux par deux de première ligne a,b et de seconde ligne c,d. C'est une matrice à valeurs dans M: a,b,c,d sont des éléments de M.

Dans la notation de Connes, je pense que est la matrice deux par deux dont le seul élément non-nul est 1 en position (i,j), et est un élément de M.

C'est strictement équivalent à ma notation pour