Problème de Sturm-Liouville

[MidoXSan]

Bonjour,

En fait j'ai un soucis avec un exercice, donc j'ai le problème suivant :

y"+2y'=ty ; y(0)+y'(0)=0 ; y(1)+y(1)=0

Donc je cite les étapes de l'exercice :

a) Le problème est-il un problème de Sturm Liouville ? Si non, mettez-le sous forme d'un problème de Sturm Liouville

Donc ici je trouve que ce n'est pas un problème de SL, je le met sous la forme de problème de SL et je trouve : -exp(2x)y"-2exp(2x)y'=t*exp(2x)y

b) Que nous apprend la théorie de Sturm-Liouville a propos des valeurs propres et fonctions propres du problème initial ?

Ben rien puisque ce n'est pas un problème de SL

c) Déterminer les valeurs propres et fonctions propres du problème

Je trouve y(x) = c*exp(-x)*cos(k*pi*x) (c appartenant à IC et k appartenant à IN) comme fonctions propres associées à y = -k²*pi²-1

d) Déterminer un système orthogonal complet de L²r[a,b] formé de fonctions propres du problème. (ici r=exp(2x) est une fonction poids qu'on trouve en mettant le problème sous forme de SL)

Ici je suis un peu bloqué car dans le corrigé ils disent que le système orthogonal n'est autre que le système {c*exp(-x)*cos(k*pi*x) , k appartenant à IN}, alors qu'en fait on en sait rien que c'est un système orthogonal car ce n'est pas un problème de SL;

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Donc voilà ou j'en suis, je n'ai aucune idée de pourquoi on met le problème sous forme de SL alors qu'on n'exploite pas ce dernier, et encore moins pourquoi ils utilisent des hypothèse de problèmes de SL pour des problèmes qui ne le sont pas.

Merci
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[JB2017]

Bonjour
Je ne comprends pas! J'aurai poser y(t)=exp(-t) u(t) pour retomber sur la forme d'un problème de SL.
Remarque au demeurant il me semble que la variable utilisée est "t" et non pas "x"

[MidoXSan]

ah excusez-moi, en fait t est un paramètre (pour pas écrire λ), donc la variable est bien x et je dois trouver les valeurs propres et fonctions propres du problème.

En fait, la théorie nous dit que pour retomber sur un pb de SL, je dois multiplier l'équation a0y"+a1y'+a2y=0 par un "facteur intégrant" : p(x) = exp (primitive(a1/a0))/a0

En soit après réflexion, j'en ai déduit que si je peux mettre un problème sous la forme d'un problème de SL, alors ce dernier jouit des propriétés d'un problème de SL (car entre les 2 problèmes, il y a juste un facteur multiplicatif)

Voici les propriétés d'un problème de SL (d'après wikipedia) : Les solutions λ et y du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre d'un certain opérateur autoadjoint dans un espace de Hilbert. Le résultat principal de la théorie est l'existence d'une base hilbertienne de vecteurs propres associés à des valeurs propres formant une suite strictement croissante.

[JB2017]

Rebonjour
L'équation après avoir multiplié par exp(2 x) se met sous la forme :
d/dx ( exp(2 x) y(x))= t exp( 2x) y(x).
C'est bien cela et c'est bien un problème de Sturm Liouville
Ensuite j'ai vérifié que les fonctions propres que tu as donné sont bien correcte.
Et puis elle forment bien un système orthogonal pour le produit scalaire

[A voir en vidéo sur Futura]