Transformation de Liouville. (ED)

[invitea5398569]

Bonjour, j'aurais une question sur un exercice. Je ne comprends pas très bien le raisonnement proposé par mon professeur. Voici l'énoncé :

Soit (E) : y'' + a(x)y' + b(x)y=0, avec .

Montrer qu'il existe strictement positive et telles que y solution de (E), si et seulement si :



On pensera à expliciter ces fonctions et q en fonction de a et b.

Mon professeur m'a dit de prouver les deux sens l'un après l'autre, mais en même temps que durant la démonstration, l'équivalence serait conservée. Il m'a dit de supposer les conditions du sens direct (phi>0 de classe 2 et q continue, ainsi que y solution de (E) ), puis de poser z=y/phi, et d'ensuite faire en sorte d'avoir une EDL(2) en z, puis de dire "le terme en z' doit être nul, et on pose le terme en z égal à q."

J'ai fait ça et je trouve une EDL(1) en phi, que j'ai résolue, et par la même occasion j'ai trouvé q.

Mais en faisant ça, on ne démontre plus ! Enfin, je ne sais pas trop, j'ai du mal à comprendre, on suppose ce que l'on doit démontrer ? C'est un peu absurde non ? (surtout que la démonstration n'est pas une démonstration par l'absurde).
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[invite57a1e779]

On a l'équivalence :

où la première égalité sert uniquement à remplacer une variable en fonction de l'autre dans la seconde équation. Le choix de permet de ne pas avoir de terme en .

Ici, c'est pareil.
Tu prouves une équivalence de la forme :

Et il te faut déterminer la fonction pour annuler .

[invitea5398569]

Le truc que je voudrais savoir, c'est de quel droit peut-on annuler p(x) comme ça, sans plus de détails, alors qu'on est censé prouver et non supposer qu'il doit être nul ?

[invite57a1e779]

La question n'est pas de prouver : ,…

mais de prouver : il existe tel que , ce qui n'est pas la même chose.

On établit l'équivalence, puis on résout l'équation pour prouver l'existence de (en déterminant au passage sa valeur c'est pratique pour les calculs).

[A voir en vidéo sur Futura]