Equation de Liouville

[Jeanthon]

Bonjour,

En physique statistique hors équilibre, le théorème de Liouville montre que le volume dans l'espace des phases est conservé le long d'une trajectoire.

Pour établir l'équation de Liouville, il suffit d'écrire que la dérivé temporelle (totale) de la densité de probabilité est nulle : et de se rappeler que , selon la mécanique hamiltonienne.


J'ai du mal à comprendre pourquoi la dérivé temporelle de la densité doit être nulle. La conséquence directe du théorème de Liouville est que la densité reste constante le long d'une trajectoire. Alors pour un point donnée {q,p} (on ne suit plus de trajectoire), pourquoi faut il que la dérivée temporelle soit nulle? Autrement dit, pourquoi la densité ne dépend pas explicitement du temps.

Merci à qui pourra m'éclairer.
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[Jeanthon]

Je pense avoir compris, et le problème viens d'une mauvaise compréhension des dérivées partielles et totales. Merci de me dire si le raisonnement est ok:

Une formulation du théorème de Liouville est : "On considère un ensemble de point dans l'espace des phases, occupant un certain volume. Au cours du temps, les points évoluent le long de leur trajectoire, mais le volume occupé reste constant."

Dans mon précédent message, je disais : "à un point donné {p,q} la dérivé temporelle totale n'a pas de raison d'être nulle". Je n'avais pas compris que si on parle de dérivé temporelle, alors on ne peux pas "rester" à un point donnée, mais on suit au contraire une trajectoire. On le voit clairement en écrivant la dépendance de la densité :

En prenant la dérivée totale, on fait varier t, mais également p(t) et q(t) qui sont des fonctions du temps. Donc la dérivée temporelle totale mesure la variation le long d'une trajectoire.

Le volume et le nombre de point étants conservés, il suit que

[gatsu]

Salut,

Oui ton raisonnement est correct.

[Jeanthon]

Merci.

J'ai encore un problème de compréhension :

Mettons qu'on parle d'un ressort, pas de dépendance explicite en temps






Soit la variable dynamique



La dépendance en t est implicite, donc


Pourtant je peux aussi bien écrire



et alors

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanthon]

Ce qui est confirmé par le chain rule : (t) -> (p,q)



Alors pourquoi est-il souvent écrit ???

Le problème ne vient il pas de la confusion entre
* La valeur de A au point (p,q), indépendamment de la dynamique, et alors A(p,q) est une surface
* La valeur de A à un temps t, et alors A(t) est une ligne (trajectoire)

[albanxiii]

Bonjour,

Le problème ne vient il pas de la confusion entre
* La valeur de A au point (p,q), indépendamment de la dynamique, et alors A(p,q) est une surface
* La valeur de A à un temps t, et alors A(t) est une ligne (trajectoire)

Vous venez de mettre le doigt dessus. est une fonction de alors que est une autre fonction, qui dépend du temps.

Donc , et .

Il faudrait utiliser deux noms différents pour ces deux fonctions, mais en pratique on ne le fait pas (on fait l'hypothèse implicite qu'on est entre adultes consentants).

@+

[Jeanthon]

Je ne vous suis pas, ou alors je ne reconnais pas vos "deux" fonctions. Ne devriez vous pas écrire :

Soit A(q,p) la variable ne dépendant que de q et p, sans rapport à la dynamique, et



Soit A(q(t),p(t)) = A(t) la variable dynamique, qui à pour variable {q(t),p(t)}, ou { t }


ou


Et donc

[Jeanthon]

Pardon, votre message est juste, encore une confusion de ma part :

Quand on parle de dérivé partielle, on doit se rappeler quelles sont les variables gardées constante. Et dans mon message #4 et #7 j'aurais du me rappeler que n'a de sens que si on précise de quel système de coordonnées on parle :