Montrer que f est continue sur R²

[Momo54500]

Bonjour

dans mon cours de maths il y' a une partie que j'ai pas bien compris .

Si f C R^n ----> R

On dit que f admet une limite l ∈ R quand le vecteur x = (x1, ....., xn) tend vers le vecteur a = (a1,...., an) si ∀ epsilon > 0, ∃ alpha>0, ∀x ∈R^n , norme de x-a < alpha => valeur absolue de f-x)-l < epsilon

On note l = lim f(x) quand x-->a

Merci à vous.
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[gg0]

Bonjour.

Connais-tu la définition de la continuité d'une fonction de R dans R ? Si oui, tu vois facilement que c'est la généralisation. Si non, c'est par là qu'il faut commencer (traduction de f(x) est aussi près de f(a) que l'on veut en prenant x suffisamment près de a - C'est ça l'idée de la continuité).

Cordialement.

[Momo54500]

Bonsoir,

et merci pour votre réponse.

Oui je connais la définition de la continuité en revanche je n'ai pas très bien compris la définition du professeur .
Si vous avez compris pouvez vous m'expliquer brièvement?

Merci à vous.

[worgui]

Bonsoir,
soit a un vecteur de R^n , on pose alors f continue en a ssi c'est la définition de continuité que gg0 a expliqué en "français" ( f(x) est aussi près de f(a) que l'on veut en prenant x suffisamment près de a ). Ce que tu as écrit (∀ epsilon > 0, ∃ alpha>0, ∀x ∈R^n , norme de x-a < alpha => valeur absolue de f-x)-l < epsilon) est en fait la définition de la notation qui en "français donnerai aussi "lorsque x très proche de a alors f(x) quasiment égal à l"

[A voir en vidéo sur Futura]

[Momo54500]

Okay je vous remercie.

Parce que dans les exercices que nous avons fait en cours oùil faut montrer qu'une fonction est continue sur R² , nous avons tout d'abord démontrer qu'elle était continue en (0,0) en utilisant notamment les coordonnées polaires et après on disait qu'elle était continue sur R².

Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi une fonction continue sur (0,0) est forcément continue sur R².

Vous par exemple vous procéderiez comment pour montrer qu'une fonction est continue sur R² .

Merci à vous.

[Momo54500]

Par exemple , pour la fonction :

f(x,y) = (sin(x²) + sin(y²))/(racine carrée de x²+y²)

Pour cette fonction on ne peut pas vraiment utiliser les coordonnées polaires du coup comment peut-on faire pour déterminer si cette fonction est continue en R² ou pas ?

Merci à vous.

[worgui]

La fonction que tu as noté dans ton dernier message n'est pas continue sur R² puisqu'elle n'est pas définie en (0,0), mais si tu arrives à montrer (en passant en coordonnées polaires dans une bonne partie des cas) que f admet une limite finie en (0,0) alors tu pourras dire qu'elle est prolongeable par continuité sur R² et alors la fonction définie sur R²\(0,0) par ton expression de départ et sera continue sur R².

[gg0]

Momo54500,

il serait bon d'apprendre ton cours pour que les évidences de ta correction en soient aussi pour toi. Ce n'est pas parce qu'une fonction est continue en (0,0) qu'elle est continue ailleurs ! Ce serait absurde !
Je suis sûr que la fonction dont tu parles au message #5 est donnée par un calcul pour et par sa valeur en (0,0). Comme le calcul et les propriétés du cours permettent de conclure immédiatement (si on a appris ses leçons) qu'elle est continue partout ailleurs qu'en (0,0), il ne reste que le cas à traiter.

C'est aussi le cas pour celle du message #7, elle est continue partout où elle est définie. Écrite comme tu l'as fait, il n'y a rien à faire pour la continuité. Tout au plus remarquer que la fonction n'est pas définie en (0,0).

Cordialement.

[Momo54500]

Bonjour et merci pour vos réponses

Excusez moi pour la réponse tardive

Okay , mais j'ai relu le cours et là dessus la prof n'a vraisemblablement pas été très claire.
On a juste fait des exercices et c'est la correction que je ne comprenais pas.