Variétés lisses et foncteur Hom(.,R)

[slivoc]

Bonjour,

Je vais m' exprimer en termes un peu savant ( alors que je ne maîtrise pas cette abstraction) afin de rendre la rédaction plus brève.
En notant la catégorie des variétés lisses dont les morphismes sont les applications lisses. On sait que le foncteur est pleinement fidèle sur les isomorphismes, par exemple une preuve se trouve dans le livre de François Laudenbach intitulé "Transversalité, Courants et Théorie de Morse". J' aurai voulu savoir si il y avait un résultat s' en rapprochant pour les morphismes qui ne sont pas nécessairement des isomorphismes, ou bien si on ne peut rien dire en général ? En regardant la preuve, on peut avoir envie de dire que ce foncteur est plein aussi sur les morphismes d' anneaux surjectifs, mais je ne vois pas grand chose de plus... En espérant que quelqu'un ait une réponse ou des références ?

Bonne journée.
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[Jean do la Salle]

"on peut avoir envie de dire que ce foncteur est plein aussi sur les morphismes d' anneaux surjectifs"

Je ne pense pas, ça m'a l'air un peu raccourci, non ?

[slivoc]

Bonjour,

Après avoir lu, re-lu et butiné la preuve, il semble que ce ne soit pas un abbus et que le foncteur soit plein aussi sur les morphismes surjectifs. Mais peut etre que je me trompe ?

[AncMath]

Pourrais tu préciser ton énoncé, celui que tu veux démontrer ?
Parce que ce sont plutot les morphismes injectifs de variétés qui donnent des morphismes surjectifs sur les anneaux de fonctions. C'est le lemme d'Uryshon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[slivoc]

L' énoncé est le suivant:
Soit M et N deux variétés lisses dont les anneaux de fonctions lisses sont notés respectivement. On suppose que l' on a un isomorphisme d' anneaux . alors il existe un unique difféomorphisme lisse tel que pour toute fonction , on ait .
Je me demandais si on pouvait remplacer isomorphisme d' anneaux par morphisme d' anneaux. Mais ça semble pas très plausible. Par contre en regardant la preuve, j' ai l' impression que pour les morphismes surjectifs d' anneaux, on a la propriété d' existence d' un morphisme mais pas son unicité je crois.

[AncMath]

Je pense que la réponse est oui et je pense même qu'elle est oui pour tout morphisme d'anneau (enfin qui soit R-linéaire bien sur).
Edit: en fait, j'en suis sûr et c'est facile à prouver en étudiant les caractères de ton algèbre de ton fonction.

[slivoc]

Merci! aurais-tu une référence ? On m' a déjà donné une référence: ""Ideals of differentiable functions" de B.Malgrange, mais j' avoue ne pas encore avoir pris le temps regarder ça.

[AncMath]

Je pense qu'on peut le faire à la main, ce qu'il faut savoir c'est que tous les caractères R-linéaires de Hom(X,R) sont données par l’évaluation en un certain point x de X. Ce qui doit être traité dans ton cours.
A partir de là il est facile de prouver le résultat qui t'interesse. Si tu prend un morphisme d'anneau de Hom(X,R) dans Hom(Y,R), tu as un candidat évident au morphisme de variété dont il devrait provenir, il n'y a plus qu'a prouver qu'il est lisse, mais c'est un résultat local, et tu as alors le lemme bien connu que f lisse ssi f^* envoie les fonctions lisses dans les fonctions lisses.

[AncMath]

Je pense qu'on peut le faire à la main, ce qu'il faut savoir c'est que tous les caractères R-linéaires de Hom(X,R) sont données par l’évaluation en un certain point x de X.

Sinon c'est aussi un exercice de Milnor-Stasheff.

[slivoc]

On n' a vu en cours que les caractères de représentations de groupe. Mais avec ce que tu dis, ( si il y une bonne topologie sur l' ensemble E' des caractères R-linéaires de Hom(Y,R)) il y a un homéo entre Y et E'. Et étant donné un caractère sur Hom(Y,R), on peut le tirer en arrière par un morphisme d' anneaux f:Hom(X,R) ->Hom(Y,R). De la même façon, on a un homéo entre X et E ( l' ensemble des caractères R-lineaire sur Hom(X,R)). En composant on doit obtenir le morphisme de variété cherché. En fait, si c' est bien ça l' idée, c' est la même idée de preuve que dans le cas où le morphisme d' anneau est un isomorphisme, sauf que dans ce cas, on ne passe pas par le spectre maximal !
Merci !

[slivoc]

Ps: La seule application que je note f* habituellement est celle induite sur les cohomologie de de Rham. J pense que pour montrer que l' application est lisse, on peut faire comme le livre que j' ai: localement, on se donne un systeme de coordonnée et on étend les fonctions coordonnées à la variété tout entière, puis on montre que chaque composée avec les fonctions coordonnées sont lisses.

[AncMath]

On n' a vu en cours que les caractères de représentations de groupe. Mais avec ce que tu dis, ( si il y une bonne topologie sur l' ensemble E' des caractères R-linéaires de Hom(Y,R)) il y a un homéo entre Y et E'.

Un caractère c'est simplement un morphisme de R-algèbre dans R, ici. Il n'y a pas besoin de topologiser l'ensemble des caractères, on peut le faire pour avoir un homéomorphisme avec la variété initiale, mais ici une simple bijection fonctorielle nous suffit.

Et étant donné un caractère sur Hom(Y,R), on peut le tirer en arrière par un morphisme d' anneaux f:Hom(X,R) ->Hom(Y,R). De la même façon, on a un homéo entre X et E ( l' ensemble des caractères R-lineaire sur Hom(X,R)). En composant on doit obtenir le morphisme de variété cherché.

Oui, c'est l'idée mais encore une fois il n'y a pas besoin de topologiser la situation.

[AncMath]

Ps: La seule application que je note f* habituellement est celle induite sur les cohomologie de de Rham. J pense que pour montrer que l' application est lisse, on peut faire comme le livre que j' ai: localement, on se donne un systeme de coordonnée et on étend les fonctions coordonnées à la variété tout entière, puis on montre que chaque composée avec les fonctions coordonnées sont lisses.

Ici f^* est simplement l'image de f par le foncteur Hom(., R), c'est à dire la post composition par f. Quand tu as un foncteur contravariant l'usage est souvent de noter f^* l'image d'une flèche par celui-ci. Si f est une fleche de X dans Y, f^* est la fleche de Hom(Y,R) dans Hom(X,R) obtenue par post composition par f.

[slivoc]

Bonjour,

Sinon c'est aussi un exercice de Milnor-Stasheff.

Je suis allé chercher hier mais je n' ai rien trouvé. Du coup j' ai essayé de le faire en m' inspirant de la preuve permettant de montrer que les idéaux maximaux de Hom(X,R) sont les noyaux des morphismes d' évaluation: En montrant que si j' ai un caractère f, alors son noyau est le noyau d' un certain . Puis en montrant que les morphismes induit sur les quotients sont les mêmes, parce que ce sont des isomorphismes vers le corps R, donc en composant l' un par l' inverse de l' autre, on ne peut obtenir que l' identité. Donc f=Ev_x ?

Bonne journée !

Ps: par contre je ne comprends pas trop ce que tu entends par "une simple bijection fonctorielle" ?

[AncMath]

Si tu sais que le noyau de ton morphisme disons et ont même noyau disons alors tu as fini, en effet ces deux caractères valent 1 sur la fonction constant et valant 1, comme tu as , ils valent la même chose sur les deux morceaux de la somme, donc sont égaux.