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(Z, +) groupe cyclique




  1. #1
    jall2

    (Z, +) groupe cyclique

    Bonjour,

    (Z, +) est le seul groupe cyclique infini (à isomorphisme près)

    Le générateur de ce groupe ne peut être que 1
    et en faisant:
    1+1
    1+1+1
    1+1+1+1
    ...
    on obtient tous les entiers positifs, mais pas les entiers négatifs.
    Or un générateur permet d'obtenir tous les éléments d'un groupe
    cyclique. Qu'est ce qui m'échappe ?

    -----


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  3. #2
    Seirios

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    Bonjour,

    Quel est l'inverse de 1 ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    jall2

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    -1 mais je ne vois toujours pas


  5. #4
    Dinozzo13

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    Bonjour, je dirais qu'au signe près, le seul générateur de Z est 1, mais sinon -1 peut aussi engendré Z tout entier.
    Pour tout entier naturel n, -n = -(n x 1) = n x (-1) = (-1) + (-1) + ... + (-1), et -1 appartient à Z.

  6. #5
    jall2

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    @Dinozzo13
    Par définition un générateur d'un groupe cyclique engendre le groupe en entier.
    Avec -1 tu engendres seulement les entiers négatifs.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jall2

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    Extrait de:
    https://books.google.fr/books?id=hMU...page&q&f=false

    Un groupe est cyclique s'il peut être engendré par un seul élément
    Le groupe Z est cyclique et il admet 2 générateurs 1 et -1
    L'énoncé concernant Z est immédiat

    Pour moi ce n'est pas immédiat, c'est incompréhensible
    C'est un livre de cours pour Polytechnique, je ne pense pas que l'auteur raconte n'importe quoi

  9. #7
    gg0

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    Jall2,

    tu devrais lire la définition de "élément ou ensemble générateur", par exemple ici. Tu sembles avoir une idée fausse de l'engendrement.

    Cordialement.

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  11. #8
    minushabens

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    Il se trouve que dans les groupes finis il suffit de considérer les puissances positives du générateur (multiples positifs dans le cas additif). Mais pour Z comme tu l'as bien constaté ça ne suffit pas.

  12. #9
    Dinozzo13

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    D'après ce qui est écrit dans ton document : est cyclique si on peut trouver dans tel que l'application définie par soit surjective. Autrement dit, est cyclique si quel que soit , on peut trouver tel que l'on ait .

  13. #10
    jall2

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    merci pour les réponses

    "En théorie des groupes, une partie génératrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de A et de leurs inverses" https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie..._d%27un_groupe

    Voilà, il faut prendre aussi l'inverse.
    Et quand un groupe est de cardinal fini, l'inverse est superflu.

  14. #11
    slivoc

    Re : (Z, +) groupe cyclique

    Une façon similaire:
    Si G est un groupe et H une partie de G, le sous-groupe de G engendré par H est le plus petit sous-groupe de G contenant H. un tel sous-groupe existe ( il est l' intersection de tous les sous-groupe de G contenant H). Donc ici, dire que Z est engendré par 1, c' est dire qu' en fait le plus petit sous groupe de Z contenant 1 est Z en entier. Mais si 1 est dans un tel sous-groupe, alors son inverse l' est nécessairement, le reste de la preuve tu l' as déjà !
    Bonne soirée!

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