(Z, +) groupe cyclique

[jall2]

Bonjour,

(Z, +) est le seul groupe cyclique infini (à isomorphisme près)

Le générateur de ce groupe ne peut être que 1
et en faisant:
1+1
1+1+1
1+1+1+1
...
on obtient tous les entiers positifs, mais pas les entiers négatifs.
Or un générateur permet d'obtenir tous les éléments d'un groupe
cyclique. Qu'est ce qui m'échappe ?
-----

[Seirios]

Bonjour,

Quel est l'inverse de 1 ?

[jall2]

-1 mais je ne vois toujours pas

[Dinozzo13]

Bonjour, je dirais qu'au signe près, le seul générateur de Z est 1, mais sinon -1 peut aussi engendré Z tout entier.
Pour tout entier naturel n, -n = -(n x 1) = n x (-1) = (-1) + (-1) + ... + (-1), et -1 appartient à Z.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jall2]

@Dinozzo13
Par définition un générateur d'un groupe cyclique engendre le groupe en entier.
Avec -1 tu engendres seulement les entiers négatifs.

[jall2]

Extrait de:
https://books.google.fr/books?id=hMU...page&q&f=false

Un groupe est cyclique s'il peut être engendré par un seul élément
Le groupe Z est cyclique et il admet 2 générateurs 1 et -1
L'énoncé concernant Z est immédiat

Pour moi ce n'est pas immédiat, c'est incompréhensible
C'est un livre de cours pour Polytechnique, je ne pense pas que l'auteur raconte n'importe quoi

[gg0]

Jall2,

tu devrais lire la définition de "élément ou ensemble générateur", par exemple ici. Tu sembles avoir une idée fausse de l'engendrement.

Cordialement.

[minushabens]

Il se trouve que dans les groupes finis il suffit de considérer les puissances positives du générateur (multiples positifs dans le cas additif). Mais pour Z comme tu l'as bien constaté ça ne suffit pas.

[Dinozzo13]

D'après ce qui est écrit dans ton document : est cyclique si on peut trouver dans tel que l'application définie par soit surjective. Autrement dit, est cyclique si quel que soit , on peut trouver tel que l'on ait .

[jall2]

merci pour les réponses

"En théorie des groupes, une partie génératrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de A et de leurs inverses" https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie..._d%27un_groupe

Voilà, il faut prendre aussi l'inverse.
Et quand un groupe est de cardinal fini, l'inverse est superflu.

[slivoc]

Une façon similaire:
Si G est un groupe et H une partie de G, le sous-groupe de G engendré par H est le plus petit sous-groupe de G contenant H. un tel sous-groupe existe ( il est l' intersection de tous les sous-groupe de G contenant H). Donc ici, dire que Z est engendré par 1, c' est dire qu' en fait le plus petit sous groupe de Z contenant 1 est Z en entier. Mais si 1 est dans un tel sous-groupe, alors son inverse l' est nécessairement, le reste de la preuve tu l' as déjà !
Bonne soirée!