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Résolution de x^x = 2x




  1. #1
    Bleudezeus

    Question Résolution de x^x = 2x

    Bonjour à tous,

    Je suis en terminale (STI2D), et j'aimerais savoir comment résoudre l'équation : x^x = 2x.

    Je sais comment trouver la moitié du résultat (x=2), mais pas l'autre moitié comme on peut le voir sur l'image.

    x^x = 2x
    x.lnx = ln2x
    x.lnx = ln2 + lnx
    x.lnx - ln2 - lnx = 0
    (x-1)lnx - ln2 = 0
    (x-1)ln(x/2) = 0

    x-1 = 0 –> x=1
    ln(x/2) = 0 –> x=2

    WolframAlphax^x = 2x.jpg

    Si vous pouvez m'aider de façon "simple" ce serait gentil !

    -----

    Dernière modification par Bleudezeus ; 12/06/2018 à 21h01.

  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Résolution de x^x = 2x

    Bonjour.

    Il n'existe pas de calcul avec les fonctions élémentaires qui te donne l'autre solution. Ce que tu as fait, bien justifié par une étude de fonction, est déjà très correct. Il existe diverses méthode de calcul de la valeur approchée; de nos jours l'utilisation d'un logiciel est une bonne méthode.

    Cordialement.

  4. #3
    Bleudezeus

    Re : Résolution de x^x = 2x

    C'est frustrant.

    Merci de la réponse.


  5. #4
    Merlin95

    Re : Résolution de x^x = 2x

    Oui mais bon, là :

    Citation Envoyé par Bleudezeus Voir le message
    (x-1)lnx - ln2 = 0
    (x-1)ln(x/2) = 0
    il y a une erreur grossière qui explique pourquoi ce que tu trouves n'est pas correct : aucune règle ne te permet d'écrire cela.

    ln(a) - ln(b) = ln(a/b), mais en aucun cas trucmuch ln(a) - ln(b) n'est pas égale à trucmuch ln(a/b).

    Pour rappel, avec le parenthésage exprimant les règles implicites trucmuch ln(a) - ln(b) = (trucmuch ln(a)) - ln(b) et non trucmuch (ln(a) - ln(b))
    Dernière modification par Merlin95 ; 12/06/2018 à 21h38.

  6. #5
    Bleudezeus

    Re : Résolution de x^x = 2x

    Oups, en effet.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ansset

    Re : Résolution de x^x = 2x

    Citation Envoyé par Bleudezeus Voir le message
    x^x = 2x
    x.lnx = ln2x
    x.lnx = ln2 + lnx
    x.lnx - ln2 - lnx = 0
    (x-1)lnx - ln2 = 0
    (x-1)ln(x/2) = 0
    oui là il y a une erreur de factorisation.
    donc 2 est bien solution mais pas x=1.
    et pour la première tu peux faire un truc à la newton, ( faisable même sous excel ) mais on ne voit pas cela au Lycée.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #7
    albanxiii

    Re : Résolution de x^x = 2x

    En partant de x^x = 2x, on simplifie par x à droite, il reste x = 2, et hop, c'est plié....



    (à ne pas refaire que une copie de devoir ou d'examen !!!)
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  10. Publicité
  11. #8
    duduch74

    Re : Résolution de x^x = 2x

    tu ne peux pas la résoudre avec les outils du lycée.
    En revanche tu peux étudier la fonction f(x) = x^x - 2x sur]0;+inf[ et montrer que l'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions grâce au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Pour l'étude de f je te recommande d'exprimer x^x sous la forme e^(xlnx) pour pouvoir faire la dérivée avec les formules de dérivée du lycée.

  12. #9
    ansset

    Re : Résolution de x^x = 2x

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    En partant de x^x = 2x, on simplifie par x à droite, il reste x = 2, et hop, c'est plié....



    (à ne pas refaire que une copie de devoir ou d'examen !!!)
    bravo, surtout de la part d'un modérateur actif sur le forum d'orientation
    ceci dit, c'est le genre de belle boulette que l'on peut rencontrer..
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    albanxiii

    Re : Résolution de x^x = 2x

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    bravo, surtout de la part d'un modérateur actif sur le forum d'orientation
    Je jure que ça n'est pas pour éliminer la concurrence sur parcoursup

    (je me suis fait violence pour écrire cette méthode de résolution, mes enseignants m'auraient mis au coin ou carrément sorti de la classe si j'avais osé faire ça sérieusement à l'époque)
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  14. #11
    jacknicklaus

    Re : Résolution de x^x = 2x

    je ne vois pas ce qui choque. personnellement j'utilise cette méthode en permanence.

    par exemple en simplifiant par 197505, vérifiez vous verrez.

    D'ailleurs, ca marche quelque soit le nombre de fois qu'on répète le groupe 197505
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  15. #12
    Bleudezeus

    Re : Résolution de x^x = 2x

    C'est ce qu'a fait un ami à qui j'ai posé le problème.

    Malheureusement, je ne sais pas (encore) le faire car ce n'est pas dans le programme de ma filière.

    Tout étant il a trouvé des résultats satisfaisants (2 et 0, 3463...).

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