Preuve d'inégalité de fonctions de R^2

[sleinininono]

Bonjour,

je voulais savoir comment est-il possible de prouver une inégalité.
J'essaye de calculer la limite de :



et mon problème est que j'aimerais prouver que |sinxy | < |xy|, ainsi que

Pour la première inégalité, je pensais faire un D.L. mais je pense que ça me donnerait x+y donc c'est pas exactement ça...
Concernant la deuxième je ne vois pas du tout comment faire surtout que je ne comprends pourquoi on aurait le droit d'éliminer dans l'expression de la fonction le y alors que celui-ci entre dans le calcul de limite... Autrement dit c'est comme si varier selon l'axe y n'avait aucun impact... ce qui est évidemment faux je crois.

je vous remercie
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[jacknicklaus]

pour ta question 1
il est évident que |sin(a)| <= |a| (faire un dessin et examiner les tangentes au point a = 0)


pour ta question 2

donc ...

[sleinininono]

ah oui pour la deuxième question je me suis rendu comtpe que c'était immédiat par la suite.

Pour la première par contre je vois pas... tu peux avoir les tangentes au dessus mais il reste une infinité d'autres directions à vérifier... pas seulement les deux axes

[gg0]

Heu ... c'est bien |sin(xy)|<=|xy| où xy est un nombre ?
Jacknicklaus n'a jamais parlé de fonction à 2 variables, seulement de la fonction sinus !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Pour la première par contre je vois pas...

as tu seulement suivi mon conseil de tracer les courbes sur un beau dessin ? l'évidence te sautera aux yeux, et la justification mathématique aussi.

[edit après lecture réponse gg0]
ah oui, je crois qu'en effet sleinininono n'avait pas posé xy = a....

[sleinininono]

comment ça quoi? j'ai pas compris
Il s'agit d'une fonction à deux variables oui... on a le droit de poser xy = a et d'appliquer le cas classique de R???

[jacknicklaus]

on a le droit de poser xy = a ?

et pourquoi pas ?

[gg0]

xy est il un nombre ?

C'est depuis des années que tu vois appliquées des formules sans s'occuper de la forme des notations, que tu écris (2+x)²=4+4x+x² en appliquant la formule (a+b)²=a²+2ab+b². Et tu te poses encore ce genre de question ?
Ce n'est pas parce que tu travailles avec des fonctions de deux variables que les maths que tu faisais jusque là deviennent fausses.

[sleinininono]

alors c'est génial merci beaucoup