Preuve inégalité

[inviteedb1f4ef]

Bonjour.
Je n'arrive pas à prouver l'inégalité suivante :

Pour tout et pour tout U,V positifs.

Quelqu'un aurait-il une piste ?
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux utiliser que (ce qui se montre facilement avec une petite étude de fonction).

[jules345]

Déja le fait que alpha soit comprit entre 0 et 1 te permet d'aboutir a 2 inégalités:

v*u>v^(1-alpha)*u^(alpha)>1
v+u>(1-alpha)*v+u*alpha>0

[inviteedb1f4ef]

@jules345
D'accord pour



mais pas pour



On prend pour que ce soit faux.

Ceci dit, je pense effectivement qu'il faille utiliser l'hypothèse que alpha est compris entre 0 et 1, d'une manière où d'une autre.

@Phys2
Comment utilise-tu l'hypothèse compris entre 0 et 1 ? Juste en jouant avec le logarithme et l'exponentiel, j'arrive pas à grand chose.
Bon après je manque peut-être un truc à la con...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedb1f4ef]

Je crois que j'ai trouvé. Mais c'est plus tellement dans le cadre du lycée.
En utilisant la convexité de la fonction exponentiel.
(convexité)

donc



Ensuite on remplace par et par

[Seirios]

@Phys2
Comment utilise-tu l'hypothèse compris entre 0 et 1 ? Juste en jouant avec le logarithme et l'exponentiel, j'arrive pas à grand chose

Oublie ce que j'ai écrit, désolé...

[jules345]

Ok ben regardons ou est l'erreur:

0<alpha<1
0>- alpha>-1
1>1-alpha>0
v>v^(1-alpha)>1 (en élevant a la puissance)

et pour u
0<alpha<1
1<u^(alpha)<u (de même en élevant a la puissance)

ces inégalités étant supèrieur à 1 on peut les multiplier sans changer leur signes.
d'ou v*u>v^(1-alpha)*u^(alpha)>1 ?
Le seul problème est lorsque nous élevons a la puissance (pourtant la fonction puissance est croissante sur R) sinon le reste me semble correct.

[inviteedb1f4ef]

Le problème je pense, c'est que la fonction puissance est croissante si le terme élevé à la puissance est > 1. Dans le cas inverse, elle est décroissante.

[jules345]

Pourtant 2^0.1<2^0.2

[inviteedb1f4ef]

Oui, mais .1^2 > .1^3

[jules345]

Certes, mais dans ce cas l'exposant est comprit entre 0 et 1, et je pense qu'une disjonction des cas doit être faite car si u et v valent 0.1 en effet tu as raison.

[invitec1ddcf27]

Salut,

l'inégalité que tu désire est une forme de ce qu'on appelle l'inégalité de Young. Pour p>1, elle affirme que



ou q>1 vérifie



soit

. Pour avoir la forme que tu énonces, il faut prendre alpha = 1/p.

Bref, effectivement, il s'agit d'une " inégalité de convexité ". Mais, elle peut aussi s'obtenir sans argument de convexité par une étude de fonction.

[invitec1ddcf27]

Une remarque est que pour p=2, le résultat est évident. Car il suffit d'écrire que




Pour le cas général : En fixant y>0 et p> 1, on étudie la fonction définit par



sur ]0, infty[. Sauf erreur de ma part, on trouver qu'elle est croissante puis décroissante, et atteint son maximum global au point . Et ce maximum vaut



Donc la fonction est f ne prend que des valeurs négatives. Ce qui donne l'inégalité de Young. D'autre part, on voit que le cas d'égalité est donnée lorsque f(machin) = 0, i.e. lorsque x^p = y^q.


Avec cette inégalité de Young, tu peux essayer de montrer une inégalité de Holder. Du genre



pour des fonctions réglées. (ces inégalités sont très utiles en analyse)