Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 13 sur 13

Preuve inégalité



  1. #1
    archimondain

    Preuve inégalité

    Bonjour.
    Je n'arrive pas à prouver l'inégalité suivante :

    Pour tout et pour tout U,V positifs.

    Quelqu'un aurait-il une piste ?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Seirios

    Re : Preuve inégalité

    Bonjour,

    Tu peux utiliser que (ce qui se montre facilement avec une petite étude de fonction).
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    jules345

    Re : Preuve inégalité

    Déja le fait que alpha soit comprit entre 0 et 1 te permet d'aboutir a 2 inégalités:

    v*u>v^(1-alpha)*u^(alpha)>1
    v+u>(1-alpha)*v+u*alpha>0

  5. #4
    archimondain

    Re : Preuve inégalité

    @jules345
    D'accord pour



    mais pas pour



    On prend pour que ce soit faux.

    Ceci dit, je pense effectivement qu'il faille utiliser l'hypothèse que alpha est compris entre 0 et 1, d'une manière où d'une autre.

    @Phys2
    Comment utilise-tu l'hypothèse compris entre 0 et 1 ? Juste en jouant avec le logarithme et l'exponentiel, j'arrive pas à grand chose.
    Bon après je manque peut-être un truc à la con...

  6. #5
    archimondain

    Re : Preuve inégalité

    Je crois que j'ai trouvé. Mais c'est plus tellement dans le cadre du lycée.
    En utilisant la convexité de la fonction exponentiel.
    (convexité)

    donc



    Ensuite on remplace par et par

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Seirios

    Re : Preuve inégalité

    @Phys2
    Comment utilise-tu l'hypothèse compris entre 0 et 1 ? Juste en jouant avec le logarithme et l'exponentiel, j'arrive pas à grand chose
    Oublie ce que j'ai écrit, désolé...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  9. Publicité
  10. #7
    jules345

    Re : Preuve inégalité

    Ok ben regardons ou est l'erreur:

    0<alpha<1
    0>- alpha>-1
    1>1-alpha>0
    v>v^(1-alpha)>1 (en élevant a la puissance)

    et pour u
    0<alpha<1
    1<u^(alpha)<u (de même en élevant a la puissance)

    ces inégalités étant supèrieur à 1 on peut les multiplier sans changer leur signes.
    d'ou v*u>v^(1-alpha)*u^(alpha)>1 ?
    Le seul problème est lorsque nous élevons a la puissance (pourtant la fonction puissance est croissante sur R) sinon le reste me semble correct.

  11. #8
    archimondain

    Re : Preuve inégalité

    Le problème je pense, c'est que la fonction puissance est croissante si le terme élevé à la puissance est > 1. Dans le cas inverse, elle est décroissante.

  12. #9
    jules345

    Re : Preuve inégalité

    Pourtant 2^0.1<2^0.2

  13. #10
    archimondain

    Re : Preuve inégalité

    Oui, mais .1^2 > .1^3

  14. #11
    jules345

    Re : Preuve inégalité

    Certes, mais dans ce cas l'exposant est comprit entre 0 et 1, et je pense qu'une disjonction des cas doit être faite car si u et v valent 0.1 en effet tu as raison.

  15. #12
    invité786754634567890

    Re : Preuve inégalité

    Salut,

    l'inégalité que tu désire est une forme de ce qu'on appelle l'inégalité de Young. Pour p>1, elle affirme que



    ou q>1 vérifie



    soit

    . Pour avoir la forme que tu énonces, il faut prendre alpha = 1/p.

    Bref, effectivement, il s'agit d'une " inégalité de convexité ". Mais, elle peut aussi s'obtenir sans argument de convexité par une étude de fonction.

  16. Publicité
  17. #13
    invité786754634567890

    Re : Preuve inégalité

    Une remarque est que pour p=2, le résultat est évident. Car il suffit d'écrire que




    Pour le cas général : En fixant y>0 et p> 1, on étudie la fonction définit par



    sur ]0, infty[. Sauf erreur de ma part, on trouver qu'elle est croissante puis décroissante, et atteint son maximum global au point . Et ce maximum vaut



    Donc la fonction est f ne prend que des valeurs négatives. Ce qui donne l'inégalité de Young. D'autre part, on voit que le cas d'égalité est donnée lorsque f(machin) = 0, i.e. lorsque x^p = y^q.


    Avec cette inégalité de Young, tu peux essayer de montrer une inégalité de Holder. Du genre



    pour des fonctions réglées. (ces inégalités sont très utiles en analyse)
    Dernière modification par invité786754634567890 ; 23/07/2010 à 02h41.

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Preuve combinatoire
    Par dsb0 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 28/08/2010, 08h26
  2. Preuve: logarithme
    Par nicom974 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 14
    Dernier message: 16/04/2010, 10h10
  3. Preuve de E=mc²
    Par Abdo rabbih dans le forum Physique
    Réponses: 22
    Dernier message: 23/07/2007, 10h50
  4. preuve ln(1+a_n)=...
    Par mp_math dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 21/07/2007, 13h37
  5. Preuve
    Par Iangagn dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 13
    Dernier message: 10/10/2006, 13h06