Preuve: logarithme

[nicom974]

Bonjour à tous,

Alors voilà, dans une semaine j'ai un examen de mi-semestre.
Je dois donc apprendre en totalité mon cours (c'est ce que je suis en train de faire), mais le truc c'est que je dois pouvoir prouver toutes les formules de mon cours.

Je suis sur les logarithmes. Je suis en train d'essayer de prouver que:

- log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)

- log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y)

- log_b(xⁿ) = n*log_b(x)

- log_b(1) = 0

- log_b(x) = (log_a(x)) / (log_a(b))

J'ai réussi le premier, le deuxieme, pas le troisieme, pas essayé le quatrième car je ne vois pas comment je pourrais le démontrer sans ma calculatrice , pas le cinquième...
Autant vous dire que je ne suis pas doué...

Merci d'avance pour vos réponses...

PS: Pour éviter tout malentendu, ceci n'est pas un devoir à rendre et je ne veux en aucun cas vos réponses afin de les mettre dans un quelconque devoir à rendre... Donnez moi les pistes et ça ira... Bon, après si vous me donnez toute la démarche, je vous en serez reconnaissant, ça me sauvera du temps pour les révisions...

Nicolas
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[Scorp]

Tu utilises quoi comme définition du logarithme ? Peux tu utiliser toutes les propriétés de l'exponentielle ???

Sinon, tu dis que n'arrives pas à faire la troisième. Pourtant, c'est juste un cas particulier du premier : log(yx)=log(x)+log(y)
donc avec y=x, tu auras log(x²)=2log(x),
puis avec y=x², ca donne log(x^3)=log(x²)+log(x)=3log(x )
etc.

[US60]

Le troisième
vérifier que ça marche si n=1
puis pour n=2 par ex en faisant x=y dans la première formule et...par récurrence...

[Romain-des-Bois]

Bonjour,

pour le 4,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2bc7eda7]

Bonjour,

pour le 4,

ou sinon peut etre plus simple (plus naturel... peut etre) c'est tout simplement d'ecrire la definition de ... avec pour que ce soit définit... et on sait tous que ...

[Thorin]

ou sinon peut etre plus simple (plus naturel... peut etre) c'est tout simplement d'ecrire la definition de ... avec pour que ce soit définit... et on sait tous que ...

si l'on peut utiliser les propriétés du logarithme népérien, tout devient trivial...

[invite2bc7eda7]

et le dernier point tu as en multipliant en haut et en bas par qu'obtiens tu?

[invite2bc7eda7]

si l'on peut utiliser les propriétés du logarithme népérien, tout devient trivial...

ce n'est pas comme ca qu'est définit le log en base b? ...

[Thorin]

on peut imaginer d'autres définitions, mais en tout cas, je ne pense pas que l'auteur aurait tant de mal s'il avait le droit de dire ça.

[nicom974]

Bonjour à tous,

Alors voilà, dans une semaine j'ai un examen de mi-semestre.
Je dois donc apprendre en totalité mon cours (c'est ce que je suis en train de faire), mais le truc c'est que je dois pouvoir prouver toutes les formules de mon cours.

Je suis sur les logarithmes. Je suis en train d'essayer de prouver que:

- log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)

- log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y)

- log_b(xⁿ) = n*log_b(x)

- log_b(1) = 0

- log_b(x) = (log_a(x)) / (log_a(b))

J'ai réussi le premier, le deuxieme, pas le troisieme, pas essayé le quatrième car je ne vois pas comment je pourrais le démontrer sans ma calculatrice , pas le cinquième...
Autant vous dire que je ne suis pas doué...

Merci d'avance pour vos réponses...

PS: Pour éviter tout malentendu, ceci n'est pas un devoir à rendre et je ne veux en aucun cas vos réponses afin de les mettre dans un quelconque devoir à rendre... Donnez moi les pistes et ça ira... Bon, après si vous me donnez toute la démarche, je vous en serez reconnaissant, ça me sauvera du temps pour les révisions...

Nicolas

Bonjour, merci pour vos réponses.

Voici comment j'ai fait, et ce que j'ai essayé de faire sans y être parvenu, merci de me corriger lorsque je me trompe:

- log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)

Définissons:
u = log_b(x)
v = log_b(y)

donc x = b^u et y = b^v

Par conséquent: xy = b^ub^v = b^u+v

Mais log_bb^u+v = u + v

et donc log_bxy = u + v

Rappelons que u = log_b(x) et v = log_b(y)

donc log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)

- log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y)

C'est pratiquement la même méthode pour celle-ci

- log_b(xⁿ) = n*log_b(x)

J'ai essayé le raisonnement par récurrence:

1. Vérification au rang n=1
log_b(x¹) = 1*log_b(x)

x¹ = x

donc nous avons: log_b(x) = log_b(x)

Propriété vérifiée au rang n = 1

2. Vérification au rang n=n+1

log_b(xⁿ⁺¹) = (n+1)*log_b(x)

Je me retrouve bloqué ici, je ne sais pas comment je dois continuer


- log_b(1) = 0

J'ai pensé à reprendre la propriété de ci dessus. Donc je prouve que la propriété log_b(xⁿ) = n*log_b(x) est vraie pour tout n de IR.
Ensuite je n'ai plue qu'a vérifier que pour n = 0, la propriété log_b(xⁿ) = n*log_b(x) soit vraie, autrement dit, que log_b(x⁰) = 0 ce qui est le cas car 0*log_b(x) = 0.

- log_b(x) = (log_a(x)) / (log_a(b))
Pour celui-ci je sèche toujours également après avoir multiplié le nominateur et dénominateur par ln(a)

Nicolas

[nicom974]

- log_b(xⁿ) = n*log_b(x)

Pour celui-ci j'ai fait quelque chose mais je ne sais pas si c'est très rigoureux:

Nous savons que log(xy) = log(x) + log(y)
Remplaçons y par x et nous obtenons:
log(xx) = log(x²) = log(x) + log(x) = 2*log(x)

donc log(x * x * x * ... * x) = log(xⁿ)
et log(x) + log(x) + log(x) + ... + log(x) = n*log(x)

Donc log(xⁿ) = n*log(x)

Vous en pensez quoi?

Nicolas

[Scorp]

Ta première approche était mieux. C'est le raisonnement par récurrence qui te permet de conclure :
1) tu as montré la propriété au rang =1 OK
2) Il faut supposé que ta propriété est vrai au rang n :
Donc log(x^n)=n.log(x)

Il faut montrer alors que la propriété est vrai au rang n+1.

Log(x^(n+1))=log(x.x^n)=log(x) +log(x^n) d'après la propriété déjà montré log(x.y)log(x)+log(y).

Or d'après ton hypothèse, log(x^n)=n.log(x), d'ou le bon résultat au rang n+1.

3) Conclusion : le raisonnement par récurrence te permet de démontrer que la propriété est vraie pour tout n supérieure ou égale à1

ATTENTION : cette propriété n'est donc pas encore démontré en n=0, donc pas possible de l'utiliser pour log(1)=0 pour le moment.

Pour montrer log(1)=0, il vaut mieux utiliser log(1)=log(1.1)=log(1)+log(1). Tu soustrais log(1) de chaque coté ce qui donne bien log(1)=0

[nicom974]

Log(x^(n+1))=log(x.x^n)=log(x) +log(x^n) d'après la propriété déjà montré log(x.y)log(x)+log(y).

Or d'après ton hypothèse, log(x^n)=n.log(x), d'ou le bon résultat au rang n+1.

Mais comment peux tu affirmer que log(x) + log(xⁿ) = (n+1)log(x)? Ca ne me parrait pas évident.

[Scorp]

Mais comment peux tu affirmer que log(x) + log(xⁿ) = (n+1)log(x)? Ca ne me parrait pas évident.

Car par hypothèse de récurrence, tu as supposé que log(x^n)=n.log(x)

[ericcc]

- log_b(x) = (log_a(x)) / (log_a(b))
Pour celui-ci je sèche toujours également après avoir multiplié le nominateur et dénominateur par ln(a)

Nicolas

Voici ce que je te propose : soit u=log_bx, donc x=b^u
soit maintenant m=log_ab, donc b=a^m
On combine les deux égalités : x=b^u=(a^m)^u=a^m*u
Donc mu=log_ax
Il suffit d'écrire u=mu/m