Cône et volume!
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Cône et volume!



  1. #1
    invite5c31dad7

    Question Cône et volume!


    ------

    Bonjour à tous , j'ai un problème où je n'en vois pas la fin.

    On considère un cône de hauteur h et de rayon R . On appelle V son volume.

    On considère n cylindres C1,C2...Cn de hauteur h/n contenant le cône.

    On appelle Un le volume total des n cylindres.

    1°montrons que le volume de Ck est égale [pi*R²*k²*h]/n^3

    2°En déduire que Un=[(pi*R²*h)/n^3]*[n(n+1)(2n+1)]/6

    Note J'ai montrer avant par récurrence que :
    1²+2²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6

    Merci de vos conseils et de votre aide .

    -----

  2. #2
    ericcc

    Re : Cône et volume!

    Je ne comprends pas ce qu'est ton cylindre Ck ? Il contient le cône et est de hauteur h/k ou h/n ? Comment contient il le cone ?
    Ceci dit, si tu as répondu à 1/, le 2 est évident avec ce que tu sais déjà sur les sommes de carrés.
    Dernière modification par ericcc ; 14/04/2010 à 16h06.

  3. #3
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Je ne comprends pas ce qu'est ton cylindre Ck ? Il contient le cône et est de hauteur h/k ou h/n ? Comment contient il le cone ?
    Ceci dit, si tu as répondu à 1/, le 2 est évident avec ce que tu sais déjà sur les sommes de carrés.
    il me semble que Ck englobe tous les cylindre de hauteur h/n
    Je suis désolé mais je vois pas l'évidence dans la formule !

    je suis partit de la formule du cylindre (volume) V=R*(h/n) mais ensuite que faire ?

  4. #4
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    voici la figure pour illustrer ! (merci paint )
    petit faute de frappe : R = Rayon (pas diamètre comme sur le dessin dsl )
    Images attachées Images attachées  

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    aucune idée ?

  7. #6
    prgasp77

    Re : Cône et volume!

    Cela revient à utiliser la définition de l'intégrale de Riemann ... Retourne chercher tes vieux cours
    --Yankel Scialom

  8. #7
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    Cela revient à utiliser la définition de l'intégrale de Riemann ... Retourne chercher tes vieux cours
    lol! si j'avais des cour sur les intégrale de Riemann je le serait
    Puis c'est un niveau au dessus de mes cours! (Term S)

  9. #8
    Tryss

    Re : Cône et volume!

    L'intégrale de Riemann est celle utilisée en terminale S

    Sinon commence déjà par résoudre le problème en 2 dimensions: quel est la largeur du rectangle Ck ? Le théorème de Thalès devrait t'aider.

    A partir de là tu connais donc le diamètre de chaque Ck, et donc, par extension son volume. Tu aura alors répondu à la question 1)

    Le passage a la question 2 serra de calculer la somme du volume des Ck

    Et la question suivante serrait logiquement de calculer la limite de cette somme pour n tendant vers l'infini afin de calculer le volume du cylindre

  10. #9
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    A partir de là tu connais donc le diamètre de chaque Ck, et donc, par extension son volume. Tu aura alors répondu à la question 1)

    Le passage a la question 2 serra de calculer la somme du volume des Ck

    Et la question suivante serrait logiquement de calculer la limite de cette somme pour n tendant vers l'infini afin de calculer le volume du cylindre
    pour le passage a la somme je ne vois pas comment faire ?

  11. #10
    ericcc

    Re : Cône et volume!

    Tu as la formule pour les Ck = qqchose*k²
    DOnc la somme des Ck=qqchose*(somme k²)
    Vois tu mieux maintenant ?

  12. #11
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Tu as la formule pour les Ck = qqchose*k²
    DOnc la somme des Ck=qqchose*(somme k²)
    Vois tu mieux maintenant ?
    sans plus!
    tout d'abord, je trouve que le rayon d'un cylindre vaut R/n en clair que k=n ?

  13. #12
    invite5c31dad7

    Question Re : Cône et volume!

    ainsi je trouve pour pour le volume d'un cylindre V=[pi*R²*h]/n²

    que faire ensuite ?

  14. #13
    US60
    Invité

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par Robotnico Voir le message
    lol! si j'avais des cour sur les intégrale de Riemann je le serait
    Puis c'est un niveau au dessus de mes cours! (Term S)
    Si j'avais des courS .......je le SAURAIS pas serait !!! Vous êtes dans l'enseignement sup non ?

  15. #14
    invitec5eb4b89

    Re : Cône et volume!

    Euh, d'après ta figure, le rayon du cylindre numéro k doit dépendre de k, et apparemment également de façon linéaire.

    Ce que te propose Tryss devrait t'aider à trouver le rayon du cylindre Ck, mais pour cela, rien de tel qu'un joli schéma avec de belles couleurs qui font mal aux yeux, comme par exemple celui en pièce jointe.

    Tu cherches à exprimer la longueur BC (rayon du cylindre Ck) en fonction de R et de k. Une solution possible est d'appliquer le théorème de Thalès aux triangles ABC et ADE, ce qui est possible car par construction, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
    Images attachées Images attachées  

  16. #15
    prgasp77

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par Robotnico Voir le message
    lol! si j'avais des cour sur les intégrale de Riemann je le serait
    Puis c'est un niveau au dessus de mes cours! (Term S)
    Au temps pour moi, j'ai bêtement supposé que tu faisais des mathématiques post-bac sur le simple fait que nous sommes dans le forum "Mathématiques du supérieur" ... j'ai toujours tendance à tirer des conclusions hâtives, ça me perdra.

    Si tu as le volume d'un cylindre Ck, ne te reste plus qu'à sommer les volumes des n cylindres
    Citation Envoyé par ericc
    Tu as la formule pour les Ck = qqchose*k²
    DOnc la somme des Ck=qqchose*(somme k²)
    Vois tu mieux maintenant ?
    Oops, edit : regarde le volume de ton cylindre, il ne dépend pas de k ; cela signifie que tous les cylindres ont le même volume ?
    --Yankel Scialom

  17. #16
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    Si tu as le volume d'un cylindre Ck, ne te reste plus qu'à sommer les volumes des n cylindres

    donc j'applique qu'elle formule ? mais la conclusion qui disait n=k est-elle vrai ?

  18. #17
    invitec5eb4b89

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par Robotnico Voir le message
    donc j'applique qu'elle formule ? mais la conclusion qui disait n=k est-elle vrai ?
    Ben non, rien que le schéma que tu as fait permet au moins de constater que les volumes des n cylindre sont différents...

    Une fois que tu as montré que

    tu peux en déduire que

    Il reste à factoriser ce qui ne dépend pas de k, et le tour est joué.

  19. #18
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par HigginsVincent Voir le message
    Ben non, rien que le schéma que tu as fait permet au moins de constater que les volumes des n cylindre sont différents...

    Une fois que tu as montré que

    tu peux en déduire que

    Il reste à factoriser ce qui ne dépend pas de k, et le tour est joué.
    le problème c'est que je n'arrive pas à démontrer


  20. #19
    invitec5eb4b89

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par Robotnico Voir le message

    Bon.

    Déjà tu sais que ce volume vaut

    avec respectivement Rk et hk le rayon et la hauteur du cylindre Ck.
    Tu connais déjà la hauteur, qui est la même pour tous les cylindres, et pour déterminer le rayon, on te propose plus haut d'appliquer le théorème de Thalès...

    Est-ce que quelque chose te chiffonne dans ce raisonnement ?

  21. #20
    breukin

    Re : Cône et volume!

    Pour préciser les choses, je renommerais les points dans la figure de HigginsVincent :
    A => B0 = C0
    B => Bk (k allant de 1 à n)
    C => Ck (k allant de 1 à n)
    D => Bn
    E => Cn
    On peut prendre A pour origine, et orienter l'axe vertical vers le bas.
    Ainsi quelles sont les coordonnées des points Bk et Ck dans ce repère ?

  22. #21
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par HigginsVincent Voir le message
    Bon.

    Déjà tu sais que ce volume vaut

    avec respectivement Rk et hk le rayon et la hauteur du cylindre Ck.
    Tu connais déjà la hauteur, qui est la même pour tous les cylindres, et pour déterminer le rayon, on te propose plus haut d'appliquer le théorème de Thalès...

    Est-ce que quelque chose te chiffonne dans ce raisonnement ?
    non , seulement j'ai exprimer d'après Thalès

    si j'exprime le et que je le remplace dans la formule
    j'obtient:

    Je pense mettre tromper dans l'expression de la hauteur

  23. #22
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par HigginsVincent Voir le message
    Bon.

    Déjà tu sais que ce volume vaut

    avec respectivement Rk et hk le rayon et la hauteur du cylindre Ck.
    Tu connais déjà la hauteur, qui est la même pour tous les cylindres, et pour déterminer le rayon, on te propose plus haut d'appliquer le théorème de Thalès...

    Est-ce que quelque chose te chiffonne dans ce raisonnement ?
    non , seulement j'ai exprimer d'après Thalès

    si j'exprime le et que je le remplace dans la formule
    j'obtient:

    Je pense mettre tromper dans l'expression de la hauteur

  24. #23
    invitec5eb4b89

    Re : Cône et volume!

    Euh, si je puis me permettre, le raisonnement n'est pas très clair.
    Tu bénéficierais beaucoup à rédiger plus posément tes problèmes, car tu as déjà sous la main tous les éléments, il suffit juste de les assembler.

    Voici par exemple comment je te propose de rédiger le calcul du rayon Rk d'un cylindre Ck :

    D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles ABC et ADE (ce qui est possible car (BC) // (DE)), on a :

    or
    • AB = ?? (hauteur d'une pile de k cylindres)
    • AE = h
    • BC = Rk
    • et DE = R

    D'où Rk = ...


    ps : désolé breukin, tes notations sont très bien, mais j'ai trop la flemme de refaire le schéma...

  25. #24
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par HigginsVincent Voir le message
    Euh, si je puis me permettre, le raisonnement n'est pas très clair.
    Tu bénéficierais beaucoup à rédiger plus posément tes problèmes, car tu as déjà sous la main tous les éléments, il suffit juste de les assembler.

    Voici par exemple comment je te propose de rédiger le calcul du rayon Rk d'un cylindre Ck :

    D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles ABC et ADE (ce qui est possible car (BC) // (DE)), on a :

    or
    • AB = ?? (hauteur d'une pile de k cylindres)
    • AE = h
    • BC = Rk
    • et DE = R

    D'où Rk = ...


    ps : désolé breukin, tes notations sont très bien, mais j'ai trop la flemme de refaire le schéma...
    Pour la hauteur d'une pile de k cylindre je pense pour :
    non ?
    Mes calculs sont incomplet pour la hauteur de ce cylindre .
    je ne sais pas comment l'exprimer !

  26. #25
    Tryss

    Re : Cône et volume!

    La hauteur d'un cylindre est h/n

    Donc la hauteur de k cylindres est (h.k)/n

  27. #26
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    La hauteur d'un cylindre est h/n

    Donc la hauteur de k cylindres est (h.k)/n
    exacte, merci pour cette information.

  28. #27
    invite5c31dad7

    Question Re : Cône et volume!

    Ainsi, j'obtient :

    Donc

    J'ai un k en plus au numérateur

    lol désolé , j'ai fait une faute de frappe , c'est bon!

  29. #28
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    Donc



    ainsi

    d'où

    Mon raisonnement est-il bon ?

  30. #29
    invite5c31dad7

    Re : Cône et volume!

    le raisonnement est-il bon ?

  31. #30
    invitec5eb4b89

    Re : Cône et volume!

    Oui c'est ca !

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