Entier naturel?

[invitea4377e7f]

Bonjour,
Comment prouver que est irrationnel?
Je n'ai pas trop d'idée.
merci!!
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[invite2bc7eda7]

tu dois calculer

essaie de trouver une somme de Riemann dans cette somme...

[invitea4377e7f]

Heu, je vois pas trop le rapport avec mon enoncé ^^

[invitea4377e7f]

Personne pour m'aider?

[A voir en vidéo sur Futura]

[US60]

V2 est irrationnel , facile à démontrer , donc un irrationnel +....est donc un irrationnel

[invitea4377e7f]

Oui...mais non.
La somme de deux irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle.
En fait il suffit de prouver qu'il est pas entier, car il est forcement entier ou irrationnel vu qu'il est entier sur Z.

[US60]

Oui...mais non.
La somme de deux irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle.
En fait il suffit de prouver qu'il est pas entier, car il est forcement entier ou irrationnel vu qu'il est entier sur Z.

Il est entier sur Z ???? Comprends pas là ...
ex n=2 on a que V2 qui est irrationnel

[invitea4377e7f]

Oui c'est un entier algébrique sur Z, donc il me suffit de prouver que c'est pas un entier.

Bon ok pour racine de 2, mais ca ne fait que le premier pas de la recurrence...
Pour n quelconque, je fais comment? sniff

[US60]

k=0 NON ! ( cf message de mystérieux 1 )

[invitea4377e7f]

k=0 NON ! ( cf message de mystérieux 1 )

Heu. Ok. Je ne vois toujours pas en quoi son message fait avancer le truc, cela dit.
Bref personne n'a une idée?

[inviteaf1870ed]

Une idée : j'appelle Sn ta somme rac(2)+rac(3)+....+rac(n)
Alors (Sn+1-Sn)²=n+1
Donc S²n+1-2SnSn+1-(n+1)=0
Et Sn=(S²n+1-[n+1))/2Sn+1
Si Sn+1 est rationnel, alors Sn l'est aussi. Or on sait par hypothèse que Sn ne l'est pas.

[invitea4377e7f]

Une idée : j'appelle Sn ta somme rac(2)+rac(3)+....+rac(n)
Alors (Sn+1-Sn)²=n+1
Donc S²n+1-2SnSn+1-(n+1)=0
Et Sn=(S²n+1-[n+1))/2Sn+1
Si Sn+1 est rationnel, alors Sn l'est aussi. Or on sait par hypothèse que Sn ne l'est pas.

Ben il me semble justement que ton petit calcul est faux, il manque un S_n² et du coup ca marche pas bien.

[inviteaf1870ed]

Oups, je me disais aussi ....

[invite2bc7eda7]

k=0 NON ! ( cf message de mystérieux 1 )

excusez moi bien sur c'était a partir de 0, mais j'ai lu un peu trop vite l'énoncé, je n'ai pas vu que c'était les inverses des racines et pas les racines... encore pardon

Bonne soirée

[invite5150dbce]

Oui...mais non.
La somme de deux irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle.
En fait il suffit de prouver qu'il est pas entier, car il est forcement entier ou irrationnel vu qu'il est entier sur Z.

comment peux-tu prouver ton affirmation ?

[invite4ef352d8]

On a droit à la théorie de Galois pour répondre ? parceque j'avoue que sans ca j'ai pas d'idée... alors qu'avec ca doit être assez facile (en faisant agir le groupe de Galois de Q[V2,V3,V5,V7,..Vp (p premier grand)]

[inviteaf1870ed]

comment peux-tu prouver ton affirmation ?

Prends un polynome à coefficients entiers, P[X], et suppose que p/q est racine du polynôme.
Alors tu peux démontrer (niveau Terminale) que q divise le coefficient dominant.
Ici le polynôme est unitaire (c'est la définition d'un entier algébrique). Donc q divise 1, donc q=1, donc ta racine est un entier, ou un irrationnel.

En passant c'est une méthode rapide pour démontrer l'irrationnalité de racine (2)...

[invite5150dbce]

Prends un polynome à coefficients entiers, P[X], et suppose que p/q est racine du polynôme.
Alors tu peux démontrer (niveau Terminale) que q divise le coefficient dominant.
Ici le polynôme est unitaire (c'est la définition d'un entier algébrique). Donc q divise 1, donc q=1, donc ta racine est un entier, ou un irrationnel.

En passant c'est une méthode rapide pour démontrer l'irrationnalité de racine (2)...

Rien ne prouve que la somme de plusieurs racines carrés de nombres entiers est une racine d'un polynôme unitaire.
Autrement dit comment démontres-tu que la somme d'entiers algébrique et un entier algébrique ?

[invite4ef352d8]

"Autrement dit comment démontres-tu que la somme d'entiers algébrique et un entier algébrique ? " >>> disons que c'est un "résultat bien connu" que l'ensemble des entier algèbrique est un anneau.

pour le prouver :
Lemme : x est algébrique si est seulement si Z[x] est un Z-module de type fini.
dem : dans un sens c'est parceque Z[x]=Z[X]/P ou P est le poly minimal de x, qui est engendré par 1,x,..x^(n-1) si P est unitaire.
dans l'autre sens, c'est le th de Cayley Hamilton.

maintenant :
si a et b sont deux entier algébrique. alors b est encor entier sur Z[a] donc Z[a,b] est de type fini sur Z[a] qui est de type fini sur Z, donc Z[a,b] est de type fini sur Z, et donc tous ces elements sont des entier : en particulier, a+b et ab sont entier.

[invite5150dbce]

ok merci pour votre réponse
je cherchais un moyen de montrer que la somme de n racines carrés d'entiers (non carré parfait) est racine d'un polynôme minimal de degré 2^n
ça marche bien pour n=1 et n=2, ça se complique après, je ne pense pas être sur la bonne voix

[inviteaf1870ed]

Oui...mais non.
La somme de deux irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle.
En fait il suffit de prouver qu'il est pas entier, car il est forcement entier ou irrationnel vu qu'il est entier sur Z.

C'est à cette affirmation que je répondais. Pas à la démo que la somme de deux entiers algébriques est algébrique.

[invitea4377e7f]

C'est à cette affirmation que je répondais. Pas à la démo que la somme de deux entiers algébriques est algébrique.

A priori pas besoin de Galois, c'est dans un cours sur les entiers alégébriques...

Je me demande s'il ne faudrait dire que se retrouverait entier de degré 2 sur ou le meme en divisant par 2, qui doit etre intégralement clos, non?

Pour galois tu fais comment? Tu dis que tu as par exemple une elt de galois qui change en son opposé et qui ne change pas les autres et donc la somme n'est pas invariante par lui?

[inviteaf1870ed]

ok merci pour votre réponse
je cherchais un moyen de montrer que la somme de n racines carrés d'entiers (non carré parfait) est racine d'un polynôme minimal de degré 2^n
ça marche bien pour n=1 et n=2, ça se complique après, je ne pense pas être sur la bonne voix

On peut montrer que cette somme est algébrique de degré au plus 2^n assez facilement par récurrence sur le nombre d'éléments de la somme, je pense :
Lemme : la somme d'un entier algébrique X de degré p et d'un entier naturel n est algébrique, de degré au plus p. Facile

Ensuite tu prends ta somme de tes q racines, tu l'élèves au carré et tu as la somme d'un entier naturel (la somme des carrés des racines) et la somme des doubles produits, qui sont eux memes des racines, mais en nombre inférieur (q-1).

Tu utilises l'hypothèse de récurrence et le lemme, et hop !

[invite4ef352d8]

est racine d'un polynôme minimal de degré 2^n >>> c'est faux.


elle est racine d'un polynome minimal de degrée 2^Pi(n) ou Pi est le nombre de nombre premier inférieur à n.

par exemple : 1+sqrt2+sqrt3+..+sqrt6 est dans Q[sqrt2,sqrt3,sqrt5] car sqrt6 = sqrt 3 *sqrt 2.

le résultat essentiel (et classique) qui répond à toute les questions que tu peut te poser sur le sujet, est que si P1...Pn sont des nombres premier deux à deux distinct alors Q(sqrt(P1),...,sqrt(Pn)) est une extension de Q de degrée 2^n galoisienne. et les sqrt((un produit de Pi)) en forme une base.

et ce truc là, j'oublie toujour comment il se prouve, mais c'est nettement plus simple si on a de la theorie de galois sous la mains... et encore plus simple si on a des notions de théorie algébrique des nombres comme le discriminant et la ramification.

[invite7863222222222]

Bonjour,

Si la racine carré d'un irrationnel est irrationnel (et le résultat que la somme d'un rationnel avec un irrationnel est irrationnelle) alors on a peut être cette démonstration :

Avec
On a
et


par récurrence * sur l'irrationnalité de , on aurait si irrationnel alors est irrationnel et donc irrationnel (si la racine carré d'un irrationnel est irrationnel comme dit plus haut).

Mais je pense qu'il reste quelques petits points à démontrer plus rigoureusement, malgré tout je pense qu'on peut aboutir avec cela.

* à partir du terme ()

[inviteaf1870ed]

Bonjour,


Avec
On a
et

Euh ...tu es sur ?

[invite7863222222222]

Oups pardon

Ca change un peu... mais n'a-t-on pas des résultats connus pour le produit de deux nombres irrationnels différents ?

[inviteaf1870ed]

Si hélas, car tu ne peux rien dire sur le terme 2rac(n+1)*an

[invite7863222222222]

Si hélas, car tu ne peux rien dire sur le terme 2rac(n+1)*an

Je pense que si, il est irrationnel, sinon le carré serait rationnel et donc aussi ce qui contredit l'hypothèse...

[inviteaf1870ed]

Le carré c'est 4*(n+1)*an²...