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Entier naturel?



  1. #1
    mathemagic

    Entier naturel?


    ------

    Bonjour,
    Comment prouver que est irrationnel?
    Je n'ai pas trop d'idée.
    merci!!

    -----

  2. #2
    Mysterieux1

    Re : Entier naturel?

    tu dois calculer

    essaie de trouver une somme de Riemann dans cette somme...
    L'intelligence artificielle n'est rien comparée à la stupidité naturelle.

  3. #3
    mathemagic

    Re : Entier naturel?

    Heu, je vois pas trop le rapport avec mon enoncé ^^

  4. #4
    mathemagic

    Re : Entier naturel?

    Personne pour m'aider?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    US60
    Invité

    Re : Entier naturel?

    V2 est irrationnel , facile à démontrer , donc un irrationnel +....est donc un irrationnel

  7. #6
    mathemagic

    Re : Entier naturel?

    Oui...mais non.
    La somme de deux irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle.
    En fait il suffit de prouver qu'il est pas entier, car il est forcement entier ou irrationnel vu qu'il est entier sur Z.

  8. #7
    US60
    Invité

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par mathemagic Voir le message
    Oui...mais non.
    La somme de deux irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle.
    En fait il suffit de prouver qu'il est pas entier, car il est forcement entier ou irrationnel vu qu'il est entier sur Z.
    Il est entier sur Z ???? Comprends pas là ...
    ex n=2 on a que V2 qui est irrationnel

  9. #8
    mathemagic

    Re : Entier naturel?

    Oui c'est un entier algébrique sur Z, donc il me suffit de prouver que c'est pas un entier.

    Bon ok pour racine de 2, mais ca ne fait que le premier pas de la recurrence...
    Pour n quelconque, je fais comment? sniff

  10. #9
    US60
    Invité

    Re : Entier naturel?

    k=0 NON ! ( cf message de mystérieux 1 )

  11. #10
    mathemagic

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par US60 Voir le message
    k=0 NON ! ( cf message de mystérieux 1 )
    Heu. Ok. Je ne vois toujours pas en quoi son message fait avancer le truc, cela dit.
    Bref personne n'a une idée?

  12. #11
    ericcc

    Re : Entier naturel?

    Une idée : j'appelle Sn ta somme rac(2)+rac(3)+....+rac(n)
    Alors (Sn+1-Sn)²=n+1
    Donc S²n+1-2SnSn+1-(n+1)=0
    Et Sn=(S²n+1-[n+1))/2Sn+1
    Si Sn+1 est rationnel, alors Sn l'est aussi. Or on sait par hypothèse que Sn ne l'est pas.

  13. #12
    mathemagic

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Une idée : j'appelle Sn ta somme rac(2)+rac(3)+....+rac(n)
    Alors (Sn+1-Sn)²=n+1
    Donc S²n+1-2SnSn+1-(n+1)=0
    Et Sn=(S²n+1-[n+1))/2Sn+1
    Si Sn+1 est rationnel, alors Sn l'est aussi. Or on sait par hypothèse que Sn ne l'est pas.
    Ben il me semble justement que ton petit calcul est faux, il manque un S_n² et du coup ca marche pas bien.

  14. #13
    ericcc

    Re : Entier naturel?

    Oups, je me disais aussi ....

  15. #14
    Mysterieux1

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par US60 Voir le message
    k=0 NON ! ( cf message de mystérieux 1 )
    excusez moi bien sur c'était a partir de 0, mais j'ai lu un peu trop vite l'énoncé, je n'ai pas vu que c'était les inverses des racines et pas les racines... encore pardon

    Bonne soirée
    L'intelligence artificielle n'est rien comparée à la stupidité naturelle.

  16. #15
    hhh86

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par mathemagic Voir le message
    Oui...mais non.
    La somme de deux irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle.
    En fait il suffit de prouver qu'il est pas entier, car il est forcement entier ou irrationnel vu qu'il est entier sur Z.
    comment peux-tu prouver ton affirmation ?
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  17. #16
    Ksilver

    Re : Entier naturel?

    On a droit à la théorie de Galois pour répondre ? parceque j'avoue que sans ca j'ai pas d'idée... alors qu'avec ca doit être assez facile (en faisant agir le groupe de Galois de Q[V2,V3,V5,V7,..Vp (p premier grand)]

  18. #17
    ericcc

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    comment peux-tu prouver ton affirmation ?
    Prends un polynome à coefficients entiers, P[X], et suppose que p/q est racine du polynôme.
    Alors tu peux démontrer (niveau Terminale) que q divise le coefficient dominant.
    Ici le polynôme est unitaire (c'est la définition d'un entier algébrique). Donc q divise 1, donc q=1, donc ta racine est un entier, ou un irrationnel.

    En passant c'est une méthode rapide pour démontrer l'irrationnalité de racine (2)...

  19. #18
    hhh86

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Prends un polynome à coefficients entiers, P[X], et suppose que p/q est racine du polynôme.
    Alors tu peux démontrer (niveau Terminale) que q divise le coefficient dominant.
    Ici le polynôme est unitaire (c'est la définition d'un entier algébrique). Donc q divise 1, donc q=1, donc ta racine est un entier, ou un irrationnel.

    En passant c'est une méthode rapide pour démontrer l'irrationnalité de racine (2)...
    Rien ne prouve que la somme de plusieurs racines carrés de nombres entiers est une racine d'un polynôme unitaire.
    Autrement dit comment démontres-tu que la somme d'entiers algébrique et un entier algébrique ?
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  20. #19
    Ksilver

    Re : Entier naturel?

    "Autrement dit comment démontres-tu que la somme d'entiers algébrique et un entier algébrique ? " >>> disons que c'est un "résultat bien connu" que l'ensemble des entier algèbrique est un anneau.

    pour le prouver :
    Lemme : x est algébrique si est seulement si Z[x] est un Z-module de type fini.
    dem : dans un sens c'est parceque Z[x]=Z[X]/P ou P est le poly minimal de x, qui est engendré par 1,x,..x^(n-1) si P est unitaire.
    dans l'autre sens, c'est le th de Cayley Hamilton.

    maintenant :
    si a et b sont deux entier algébrique. alors b est encor entier sur Z[a] donc Z[a,b] est de type fini sur Z[a] qui est de type fini sur Z, donc Z[a,b] est de type fini sur Z, et donc tous ces elements sont des entier : en particulier, a+b et ab sont entier.

  21. #20
    hhh86

    Re : Entier naturel?

    ok merci pour votre réponse
    je cherchais un moyen de montrer que la somme de n racines carrés d'entiers (non carré parfait) est racine d'un polynôme minimal de degré 2^n
    ça marche bien pour n=1 et n=2, ça se complique après, je ne pense pas être sur la bonne voix
    Dernière modification par hhh86 ; 15/04/2010 à 16h49.
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  22. #21
    ericcc

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par mathemagic Voir le message
    Oui...mais non.
    La somme de deux irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle.
    En fait il suffit de prouver qu'il est pas entier, car il est forcement entier ou irrationnel vu qu'il est entier sur Z.
    C'est à cette affirmation que je répondais. Pas à la démo que la somme de deux entiers algébriques est algébrique.

  23. #22
    mathemagic

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    C'est à cette affirmation que je répondais. Pas à la démo que la somme de deux entiers algébriques est algébrique.
    A priori pas besoin de Galois, c'est dans un cours sur les entiers alégébriques...

    Je me demande s'il ne faudrait dire que se retrouverait entier de degré 2 sur ou le meme en divisant par 2, qui doit etre intégralement clos, non?

    Pour galois tu fais comment? Tu dis que tu as par exemple une elt de galois qui change en son opposé et qui ne change pas les autres et donc la somme n'est pas invariante par lui?

  24. #23
    ericcc

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    ok merci pour votre réponse
    je cherchais un moyen de montrer que la somme de n racines carrés d'entiers (non carré parfait) est racine d'un polynôme minimal de degré 2^n
    ça marche bien pour n=1 et n=2, ça se complique après, je ne pense pas être sur la bonne voix
    On peut montrer que cette somme est algébrique de degré au plus 2^n assez facilement par récurrence sur le nombre d'éléments de la somme, je pense :
    Lemme : la somme d'un entier algébrique X de degré p et d'un entier naturel n est algébrique, de degré au plus p. Facile

    Ensuite tu prends ta somme de tes q racines, tu l'élèves au carré et tu as la somme d'un entier naturel (la somme des carrés des racines) et la somme des doubles produits, qui sont eux memes des racines, mais en nombre inférieur (q-1).

    Tu utilises l'hypothèse de récurrence et le lemme, et hop !

  25. #24
    Ksilver

    Re : Entier naturel?

    est racine d'un polynôme minimal de degré 2^n >>> c'est faux.


    elle est racine d'un polynome minimal de degrée 2^Pi(n) ou Pi est le nombre de nombre premier inférieur à n.

    par exemple : 1+sqrt2+sqrt3+..+sqrt6 est dans Q[sqrt2,sqrt3,sqrt5] car sqrt6 = sqrt 3 *sqrt 2.

    le résultat essentiel (et classique) qui répond à toute les questions que tu peut te poser sur le sujet, est que si P1...Pn sont des nombres premier deux à deux distinct alors Q(sqrt(P1),...,sqrt(Pn)) est une extension de Q de degrée 2^n galoisienne. et les sqrt((un produit de Pi)) en forme une base.

    et ce truc là, j'oublie toujour comment il se prouve, mais c'est nettement plus simple si on a de la theorie de galois sous la mains... et encore plus simple si on a des notions de théorie algébrique des nombres comme le discriminant et la ramification.

  26. #25
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Entier naturel?

    Bonjour,

    Si la racine carré d'un irrationnel est irrationnel (et le résultat que la somme d'un rationnel avec un irrationnel est irrationnelle) alors on a peut être cette démonstration :

    Avec
    On a
    et


    par récurrence * sur l'irrationnalité de , on aurait si irrationnel alors est irrationnel et donc irrationnel (si la racine carré d'un irrationnel est irrationnel comme dit plus haut).

    Mais je pense qu'il reste quelques petits points à démontrer plus rigoureusement, malgré tout je pense qu'on peut aboutir avec cela.

    * à partir du terme ()
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 16/04/2010 à 09h42.

  27. #26
    ericcc

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Bonjour,


    Avec
    On a
    et

    Euh ...tu es sur ?

  28. #27
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Entier naturel?

    Oups pardon

    Ca change un peu... mais n'a-t-on pas des résultats connus pour le produit de deux nombres irrationnels différents ?

  29. #28
    ericcc

    Re : Entier naturel?

    Si hélas, car tu ne peux rien dire sur le terme 2rac(n+1)*an

  30. #29
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Entier naturel?

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Si hélas, car tu ne peux rien dire sur le terme 2rac(n+1)*an
    Je pense que si, il est irrationnel, sinon le carré serait rationnel et donc aussi ce qui contredit l'hypothèse...

  31. #30
    ericcc

    Re : Entier naturel?

    Le carré c'est 4*(n+1)*an²...

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