Changement de bases compréhension PDF

[grandbennet]

Bonjour,
pourrais-je avoir des explications sur un passage de ce pdf : https://perso.univ-rennes1.fr/annett...atdepass06.pdf
On trouve page 7 en haut, que après un certain changement de variables explicité page 6 en bas, que la nouvelle base correspond aux colonnes de la matrice de passage. La notion ne me parait pas abstraite (j'ai le souvenir que les colonnes correspondent à f(ei) ) mais néanmoins je ne comprends pas pourquoi la nouvelle base serait celle-ci.

En effet, on se rend compte alors que dans le cas particulier de l'exemple, e1 = x2' ; e1' = x2 ; e2 = x1' ; e2' = x1.

Pourriez vous m'expliquer svp le raisonnement qu'il y a pour passer des x aux e? quel est le lien entre eux? Mis à part le fait que les colonnes correspondent à la transformation.


Merci.
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[grandbennet]

en regardant la suite, ils expliquent le changement de base dualle et je confonds je crois avec celui-ci. Pourtant je ne comprends pas parce que quand on écrit x1 = x1' + x2' on écrit selon des vecteurs ? ce n'est pas vraiment des formes linéaires ; pourriez vous m'expliquer svp ?

[gg0]

Bonsoir.

Un changement de coordonnées n'est pas donné par des vecteurs, mais par les coordonnées, d'où l'écriture avec des x, pas des e. Ce n'est qu'ensuite, en utilisant ce qui est expliqué tout au début, page 4, qu'est fait le lien avec les vecteurs de la nouvelle base.

Cordialement.

[grandbennet]

bonjour,

oui merci, c'est vrai que page 4 ils rappellent les liens entre colonnes et vecteurs de la base. Pourriez vous néanmoins m'expliquer pourquoi coordonnées et vecteurs sont fondamentalement différents?


merci et bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

J'avais failli te demander de revoir ce que sont les coordonnées, j'aurais dû. Comment peux-tu vouloir lire un tel document sans avoir vu le sens des mots qui y sont utilisés.

En France, on voit la notion de coordonnées dès la troisième, à 14 ans, et les changements de base (plus généralement de repère) éventuellement en première (16 ans), mais ton document est à destination d'étudiants de 18 ans ou plus. Donc prends des cours de collège et lycée pour savoir ce que sont les coordonnées (*) ou reprends un début de cours d'algèbre linéaire pour savoir ce qu'on y désigne par "coordonnées" (**). Un simple dictionnaire donnerait déjà une idée !

Pourquoi demander aux autres ce que tu peux comprendre en cherchant toi-même ???

(*) dans un repère cartésien
(**) dans une base donnée d'un espace vectoriel

[grandbennet]

merci pour ces précieux conseils.
Néanmoins, je ne trouve pas mes réponses dans les références de collège et de lycée auxquelles j'ai accès.

Est-il possible d'avoir une clarification de votre part?

page 4 que vous citiez, il y a écrit que la matrice P écrite au milieu de la page permet de passer de E,(ei') à E,(ei). Qu'est ce que cela signifie? Si on fait PX = X' avec X un vecteur quelconque, qu'est ce que l'on fait ? X est écrit dans quelle base et passe dans quelle base ?

J'avais compris qu'un vecteur est une colonne de valeurs, et une coordonnée est une valeur dans le vecteur. Ainsi, quand page 6 il y a écrit un vecteur (x1...xn)
je ne saisis pas bien la différence. Surtout que (x1...xn) = x1 * e1 + ... xn * en

[gg0]

Alors je reviens sur la notion de coordonnées.

On est dans un espace vectoriel réel E, muni d'une base (je me restreins au cas dimension finie, ce qui te suffit).
Soit x un vecteur. Il est combinaison linéaire des e_i, sous la forme , où les a_i sont uniques. Les réels a_i sont appelés les coordonnées de x dans la base .
Maintenant, si x est un élément d'un , il est un vecteur colonne à n composantes x₁, x₂, ..x_n; il se trouve que ces x_i sont aussi les coordonnées de x dans la base canonique de . Ce qui fait qu'on parle aussi de coordonnées (mais sans préciser la base) dans ce cas.

Pour le texte, une fois que tu aurais bien compris la différence entre vecteurs et coordonnées, tu pourras reprendre ce qui est effectivement écrit. Au besoin, revois le lien entre application linéaire et matrice. Le lien dépendant parfaitement des bases choisies sur les espaces de départ et d'arrivée. Je soupçonne que tu as déjà un manque sur ce sujet (vu que tu ne comprenais pas "coordonnées").

Bonne réflexion personnelle !

[grandbennet]

j'ai essayé d'avancer à ce sujet. Je reviens avec une question, en rapport mais pas totalement sur le même propos:

V = R^2. E la base canonique,
f1 = (1,1) ; f2 = (1,-1) et F = (f1,f2) une autre base de V.
Si on note F* la base duale de F avec F* = (g1, g2).

Je ne comprends pas pourquoi g1(e1) = g1( (f1+f2) /2 ) = 1/2
En effet, moi j'aurais écrit f1 = e1 + e2 ...

mon problème doit surement venir de la nuance coordonnée vecteur. J'ai bien réfléchi sur le sens des lignes et colonnes des matrices, mais ici je ne comprends pas. Auriez vous une explication ?


merci et bonne journée.

[jacknicklaus]

tu as
e1 = (1/2)(f1 + f2)
e2 = (1/2)(f1 - f2)

donc
g1(e1) = (1/2)(g1(f1) + g1(f2)) = (1/2)(1 + 0) = 1/2
par définition de la base duale : ei*(ej) = delta(i,j)

[sleinininono]

Mais le truc c'est que non, j'ai pas.

tu as
e1 = (1/2)(f1 + f2)
e2 = (1/2)(f1 - f2)

J'ai clairement écrit dans mon dernier message qu'il me semble que e1 = f1 + f2.
JE SAIS BIEN QUE CEST FAUX.
J'imagine bien aussi au vu du résultat que e1 est comme vous l'avez écrit. Mon problème est le passage de l'un à l'autre.

merci .

[jacknicklaus]

Mon problème est le passage de l'un à l'autre.

OK. Alors ce qui te manque c'est décomposer f1 et f2 sur la base canonique (e1,e2).

f1 = (1,1) <=> f1 = e1 + e2
f2 = (1,-1) <=> f2 = e1 - e2

je te laisse le soin d''inverser ce système et de trouver e1 en fonction de f1 et f2.

PS
tu as deux pseudos ?

[grandbennet]

pardon pour le changement de pseudo... c'est toujours le compte de mon frère et ça se connecte automatiquement. Il va falloir que je trouve une solution à ce problème récurrent... ou attendre qu'il parte de la maison...

D'accord je comprends, je ne l'avais pas vu sous cet angle. Merci.