J'ai passé quelques mois à étudier la conjecture de Collatz ou conjecture de Syracuse ou 3x+1 et je souhaite faire partager mes résultats.
Pour rappel :
Soit n(1) un entier positif on défini la suite de Collatz ainsi, si x(i) est pair x(i+1)=x(i)/2, si x(i) est impair x(i+1)=3*x(i)+1 et ainsi de suite avec la même règle, on obtient
une suite dont chaque élément x(i+1) dépend uniquement de son prédécesseur x(i) et cette suite se termine toujours par 1 et répétition du cycle trivial 1,4,2 quelque soit x(1) aussi grand soit-il.
J'ai défini le tableau suivant avec les règle définies après ce tableau
1 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 87381 ...
5 3 13 53 213 853 3413 13653 54613 218453 ...
7 9 37 149 597 2389 9557 38229 152917 611669 ...
11 7 29 117 469 1877 7509 30037 120149 480597 ...
13 17 69 277 1109 4437 17749 70997 283989 1135957 ...
17 11 45 181 725 2901 11605 46421 185685 742741 ...
19 25 101 405 1621 6485 25941 103765 415061 1660245 ...
23 15 61 245 981 3925 15701 62805 251221 1004885 ...
25 33 133 533 2133 8533 34133 136533 546133 2184533 ...
29 19 77 309 1237 4949 19797 79189 316757 1267029 ...
31 41 165 661 2645 10581 42325 169301 677205 2708821 ...
35 23 93 373 1493 5973 23893 95573 382293 1529173 ...
37 49 197 789 3157 12629 50517 202069 808277 3233109 ...
41 27 109 437 1749 6997 27989 11957 447829 1791317 ...
43 57 229 917 3669 14677 58709 34837 939349 3757397 ...
47 31 125 501 2005 8021 32085 128341 513365 2053461 ...
49 65 261 1045 4181 16725 66901 267605 1070421 4281685 ...
53 35 141 565 2261 9045 36181 144725 578901 2315605 ...
55 73 293 1173 4693 18773 75093 300373 1201493 4805973 ...
59 39 157 629 2517 10069 40277 161109 644437 2577749 ...
61 81 325 1301 5205 20821 83285 333141 1332565 5330261 ...
65 43 173 693 2773 11093 44373 177493 709973 2839893 ...
67 89 357 1429 5717 22869 91477 365909 1463637 5854549 ...
71 47 189 757 3029 12117 48469 193877 775509 3102037 ...
73 97 389 1557 6229 24917 99669 398677 1594709 6378837 ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
La première colonne du tableau contient les nombres impairs non divisible par 3 dans l'ordre naturel d'occurrence une fois et une fois seulement et peut être étendue jusqu'au nombre impair le plus grand souhaité mais jamais divisible par 3.
La deuxième colonne du tableau contient le plus petit nombre impair prédécesseur du nombre impair de la première colonne et sur la même ligne dans une suite de Collatz, elle commence par 1 pour 1 première ligne puis 3 pour 5 deuxième ligne, ensuite on ajoute 8 au nombre de rang impair qui précéde et 4 pour le nombre de rang pair qui précéde, on obtient la colonne 2: 1,,3,,9,,7, 17, 11, 25, 15 .....
Les colonnes de rangs supérieurs à 2 soit T(l,c) l indice ligne , c indice colonne sont calculées par T(l,c+1)=4*T(l,c)+1.
Le tableau ainsi construit peut être étendu avec autant de lignes et de colonnes que souhaité en suivant les règles définies.
On constate que le tableau Contient une fois et une fois seulement tous les nombres impairs dans les colonnes de rangs supérieurs à 2, et la première colonne contient une fois et une fois seulement les nombres impairs non divisibles par 3.
Il est donc impossible de revenir sur une même ligne une fois qu'on l'a quittée puisque les nombres d'une même ligne sont uniques sauf à être sur la première ligne ou on a la répétition 1,4 2,1,4,2,1........
Grâce à ce tableau il est possible de tracer toutes les suites de Syracuse à l'envers , c'est à dire en partant de 1 , par exemple 1,5,13,17,11,7,37,197.....on trouvera une suite de Syracuse inverse qui diverge vers (3*(2*N+1))*2^K d'où la convergence vers 1 de toute suite de Syracuse.
Par contre si on défini les suites de Syracuse généralisées de la façon suivante : si on défini x(1) entier positif si x(i) est pair x(i+1)=x(i)/2 si x(i) est impair et premier x(i+1)=P*x(i)+1 et si x(i) est impair et composite x(i+1)=3*x(i)+1 avec P un nombre premier quelconque, si P n'est pas égal à 3 les suites de Syracuse convergent toujours avec pour partie un cycle trivial 1,4,2 mais avec toujours au moins un cycle différent, mais cela est une autre discussion à venir peut être.
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